Calcular \iint_{n} f(x, y) d x d y, onde:
\begin{aligned} f(x, y)=\frac{1}{x+y} ; R \text { é o quadrado } 1 & \leq x \leq 2 \\\\ 1 & \leq y \leq 2 .\end{aligned}é

Passo 1

O que o problema pede e o que foi dado:
  • Pede-se calcular a integral dupla \iint_{R} f(x,y)\,dx\,dy.
  • A função é \;f(x,y)=\dfrac{1}{x+y}\;.
  • A região R é o quadrado definido por \;1\le x\le 2\; e \;1\le y\le 2\;.
  • Observação importante que vem do enunciado: para (x,y) em R temos x+y no intervalo \;[2,4]\;, portanto x+y\neq 0 em toda a região e f é contínua em R.

Passo 2

Escolha da forma de calcular (ideia prática):
  • Como f é contínua em R e R é um retângulo, a integral dupla pode ser calculada por integração iterada (podemos integrar primeiro em y e depois em x, ou vice-versa).
  • Vou integrar primeiro em y e depois em x. Escrevendo a integral iterada:
\iint_{R}\frac{1}{x+y}\,dx\,dy=\int_{x=1}^{2}\left(\int_{y=1}^{2}\frac{1}{x+y}\,dy\right)dx.

Passo 3

Cálculo da integral interna em y:
  • Para a integral interna, x é tratado como constante quando integramos em y.
  • A primitiva de y\mapsto \dfrac{1}{x+y} (com x fixo) é \ln|x+y|, porque \dfrac{d}{dy}\ln(x+y)=\dfrac{1}{x+y}.
  • Portanto,
\int_{y=1}^{2}\frac{1}{x+y}\,dy=\left.\ln(x+y)\right|_{y=1}^{y=2}=\ln(x+2)-\ln(x+1)=\ln\!\left(\dfrac{x+2}{x+1}\right).

Passo 4

Agora a integral externa em x:
  • Substituindo o resultado do passo anterior, restou calcular
\int_{x=1}^{2}\ln\!\left(\dfrac{x+2}{x+1}\right)\,dx.

Passo 5

Simplificação por mudança de variável:
  • Faça a substituição \displaystyle u=x+1. Quando x vai de 1 a 2, u vai de 2 a 3.
  • Com isso a integral fica
\int_{u=2}^{3}\ln\!\left(\dfrac{u+1}{u}\right)\,du.

Passo 6

Separar o logaritmo e usar mudança de limites para telescopar:
  • Use a identidade \ln\!\left(\dfrac{u+1}{u}\right)=\ln(u+1)-\ln u. Assim
\int_{2}^{3}\ln\!\left(\dfrac{u+1}{u}\right)\,du=\int_{2}^{3}\ln(u+1)\,du-\int_{2}^{3}\ln u\,du.
  • Na primeira integral faça a mudança v=u+1. Quando u vai de 2 a 3, v vai de 3 a 4. Assim
\int_{2}^{3}\ln(u+1)\,du=\int_{3}^{4}\ln v\,dv.
  • Portanto a integral total é
\int_{3}^{4}\ln x\,dx-\int_{2}^{3}\ln x\,dx.

Passo 7

Cálculo das integrais de \ln x (integração por partes):
  • Para calcular \int \ln x\,dx usamos integração por partes com \;u=\ln x\; e \;dv=dx\;. Então \;du=\dfrac{1}{x}dx\; e \;v=x\;.
  • A fórmula de integração por partes dá:
\int \ln x\,dx = x\ln x - x + C.
  • Agora aplicamos às integrais definidas:
\int_{3}^{4}\ln x\,dx=\left[x\ln x - x\right]_{3}^{4}=4\ln 4 -4 -\bigl(3\ln 3 -3\bigr)=4\ln 4 -3\ln 3 -1,
\int_{2}^{3}\ln x\,dx=\left[x\ln x - x\right]_{2}^{3}=3\ln 3 -3 -\bigl(2\ln 2 -2\bigr)=3\ln 3 -2\ln 2 -1.

Passo 8

Subtrair as duas integrais e simplificar:
  • A integral total é a diferença entre as duas expressões do passo anterior:
\bigl(4\ln 4 -3\ln 3 -1\bigr)-\bigl(3\ln 3 -2\ln 2 -1\bigr)=4\ln 4 -6\ln 3 +2\ln 2.
  • Simplificando usando \ln 4=2\ln 2:
4\ln 4 -6\ln 3 +2\ln 2 =4(2\ln 2)-6\ln 3 +2\ln 2 =10\ln 2 -6\ln 3.
  • Fatorando 2 ou escrevendo como logaritmo único:
10\ln 2 -6\ln 3 =2\bigl(5\ln 2 -3\ln 3\bigr)=\ln\!\left(\dfrac{2^{10}}{3^{6}}\right)=\ln\!\left(\dfrac{1024}{729}\right).

Resposta

\ln\!\left(\dfrac{1024}{729}\right)

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