Calcular
, onde:
Passo 1
O que o problema pede e o que foi dado:
- Pede-se calcular a integral dupla
. - A função é
. - A região
é o quadrado definido por e . - Observação importante que vem do enunciado: para
em temos no intervalo , portanto em toda a região e é contínua em .
Passo 2
Escolha da forma de calcular (ideia prática):
- Como
é contínua em e é um retângulo, a integral dupla pode ser calculada por integração iterada (podemos integrar primeiro em e depois em , ou vice-versa). - Vou integrar primeiro em
e depois em . Escrevendo a integral iterada:
Passo 3
Cálculo da integral interna em
:
- Para a integral interna,
é tratado como constante quando integramos em . - A primitiva de
(com fixo) é , porque . - Portanto,
Passo 4
Agora a integral externa em
:
- Substituindo o resultado do passo anterior, restou calcular
Passo 5
Simplificação por mudança de variável:
- Faça a substituição
. Quando vai de a , vai de a . - Com isso a integral fica
Passo 6
Separar o logaritmo e usar mudança de limites para telescopar:
- Use a identidade
. Assim
- Na primeira integral faça a mudança
. Quando vai de a , vai de a . Assim
- Portanto a integral total é
Passo 7
Cálculo das integrais de
(integração por partes):
- Para calcular
usamos integração por partes com e . Então e . - A fórmula de integração por partes dá:
- Agora aplicamos às integrais definidas:
Passo 8
Subtrair as duas integrais e simplificar:
- A integral total é a diferença entre as duas expressões do passo anterior:
- Simplificando usando
:
- Fatorando
ou escrevendo como logaritmo único: