Calcule os limites (envolve infinito).
\lim _{x \rightarrow+\infty}\left(5 x^{2}-3 x\right)

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite quando x tende a +\infty da expressão \left(5x^{2}-3x\right).
Informações dadas:
  • A expressão é 5x^{2}-3x.
  • O ponto de interesse é x \rightarrow +\infty (isto é, x cresce sem limite no sentido positivo).
    A pergunta explícita é: qual é o valor de \displaystyle \lim_{x\to +\infty}\left(5x^{2}-3x\right)?

Passo 2

Entendendo o que significa \displaystyle x\to +\infty.
Quando escrevemos \displaystyle x\to +\infty queremos dizer que x fica cada vez maior, sem limite superior. O que nos interessa é o comportamento da função 5x^{2}-3x quando x cresce muito: ela tende para um número finito, tende para +\infty, tende para -\infty ou oscila? Vamos analisar termo a termo.

Passo 3

Repare que 5x^{2}-3x é um polinômio. Uma técnica útil é fatorar a maior potência de x que aparece (aqui é x^{2}) para ver qual termo domina quando x fica grande. Faço a fatoração:
5x^{2}-3x = x^{2}\left(5-\frac{3}{x}\right).
Expliquei passo a passo:
  • Tirei x^{2} em evidência: 5x^{2}=x^{2}\cdot 5 e 3x = x^{2}\cdot\frac{3}{x}.
  • Dentro dos parênteses ficou 5-\dfrac{3}{x}.

Passo 4

Agora uso limites conhecidos de termos simples. Primeiro, a sequência/funcão x^{2} quando x\to +\infty cresce sem limite e isso é formalmente:
\lim_{x\to +\infty} x^{2} = +\infty.
Segundo, a fracção \dfrac{3}{x} tende a 0 quando x cresce:
\lim_{x\to +\infty}\frac{3}{x}=0,
portanto
\lim_{x\to +\infty}\left(5-\frac{3}{x}\right)=5.
Aqui expliquei o porquê: dividir uma constante por um número que cresce muito dá um valor cada vez menor, aproximando-se de zero.

Passo 5

Usando a propriedade de limites para produtos: se uma fator tende a +\infty e o outro tende a um número finito não nulo, o produto tende a +\infty ou -\infty conforme o sinal do número finito. No nosso caso:
  • \lim_{x\to +\infty} x^{2}=+\infty e x^{2}\ge 0 para todo x.
  • \lim_{x\to +\infty}\left(5-\dfrac{3}{x}\right)=5, que é positivo.
    Portanto o produto
x^{2}\left(5-\frac{3}{x}\right)
cresce sem limite positivo quando x\to +\infty.

Passo 6

Para fixar a intuição, veja um exemplo numérico rápido: se x=100,
5x^{2}-3x = 5\cdot100^{2}-3\cdot100 = 5\cdot10000-300 = 50000-300 = 49700,
que já é um número grande e positivo; para x ainda maiores o valor só aumenta.

Resposta

+\infty

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