Calcule os limites (envolve infinito).
Passo 1
O enunciado pede calcular o limite quando
tende a
da expressão
.
Informações dadas:
Informações dadas:
- A expressão é
. - O ponto de interesse é
(isto é, cresce sem limite no sentido positivo).
A pergunta explícita é: qual é o valor de?
Passo 2
Entendendo o que significa
.
Quando escrevemos queremos dizer que
fica cada vez maior, sem limite superior. O que nos interessa é o comportamento da função
quando
cresce muito: ela tende para um número finito, tende para
, tende para
ou oscila? Vamos analisar termo a termo.
Quando escrevemos
Passo 3
Repare que
é um polinômio. Uma técnica útil é fatorar a maior potência de
que aparece (aqui é
) para ver qual termo domina quando
fica grande. Faço a fatoração:
Expliquei passo a passo:
- Tirei
em evidência: e . - Dentro dos parênteses ficou
.
Passo 4
Agora uso limites conhecidos de termos simples. Primeiro, a sequência/funcão
quando
cresce sem limite e isso é formalmente:
Segundo, a fracção
tende a
quando
cresce:
portanto
Aqui expliquei o porquê: dividir uma constante por um número que cresce muito dá um valor cada vez menor, aproximando-se de zero.
Passo 5
Usando a propriedade de limites para produtos: se uma fator tende a
e o outro tende a um número finito não nulo, o produto tende a
ou
conforme o sinal do número finito. No nosso caso:
-
e para todo . -
, que é positivo.
Portanto o produto
cresce sem limite positivo quando
.
Passo 6
Para fixar a intuição, veja um exemplo numérico rápido: se
,
que já é um número grande e positivo; para
ainda maiores o valor só aumenta.