Calcule os limites (envolve infinito).
Passo 1
O enunciado pede que calculemos o limite
Informações dadas e observações iniciais:
- No numerador aparecem os termos
e . - No denominador aparecem os termos
e . - A variável
tende para (ou seja, para valores positivos e muito grandes). - Queremos o valor do limite dessa função racional quando
cresce sem bound.
Passo 2
Estratégia escolhida (explicada de forma didática):
- Para limites envolvendo polinômios quando
, a técnica padrão é fatorar a maior potência de que aparece (ou dividir numerador e denominador por essa potência). Isso simplifica a expressão e mostra claramente o comportamento assintótico. - Vou fatorar
(que é o menor entre as maiores potências que aparecem) porque aparece em todos os termos; isso deixa expressões com frações do tipo , cujo limite quando é . - Observação técnica: fatorar por
é válido para todo ; como estamos olhando , para valores grandes de isso não causa problema.
Passo 3
Fatorando
no numerador e no denominador:
Passo 4
Analisar o limite da expressão simplificada:
- Primeiro,
. (Intuição: conforme cresce, fica cada vez menor, aproximando-se de zero.) - Logo o numerador tende para
. - O denominador
tende para quando . - Quando o numerador tende para um número finito não nulo (
) e o denominador tende para , o quociente tende para .
Passo 5
Conclusão do cálculo do limite: a expressão dada tende para
quando
.