Calcule os limites (envolve infinito).
\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{x^{99}+x^{98}}{x^{100}-x^{99}}

Passo 1

O enunciado pede que calculemos o limite
\lim_{x\to+\infty}\frac{x^{99}+x^{98}}{x^{100}-x^{99}}.
Informações dadas e observações iniciais:
  • No numerador aparecem os termos \,x^{99} e \,x^{98}.
  • No denominador aparecem os termos \,x^{100} e \,x^{99}.
  • A variável x tende para +\infty (ou seja, para valores positivos e muito grandes).
  • Queremos o valor do limite dessa função racional quando x cresce sem bound.

Passo 2

Estratégia escolhida (explicada de forma didática):
  • Para limites envolvendo polinômios quando x\to\infty, a técnica padrão é fatorar a maior potência de x que aparece (ou dividir numerador e denominador por essa potência). Isso simplifica a expressão e mostra claramente o comportamento assintótico.
  • Vou fatorar x^{99} (que é o menor entre as maiores potências que aparecem) porque aparece em todos os termos; isso deixa expressões com frações do tipo \tfrac{1}{x}, cujo limite quando x\to+\infty é 0.
  • Observação técnica: fatorar por x^{99} é válido para todo x\neq0; como estamos olhando x\to+\infty, para valores grandes de x isso não causa problema.

Passo 3

Fatorando x^{99} no numerador e no denominador:
\frac{x^{99}+x^{98}}{x^{100}-x^{99}} = \frac{x^{99}\left(1+\dfrac{1}{x}\right)}{x^{99}\left(x-1\right)} = \frac{1+\dfrac{1}{x}}{x-1}.

Passo 4

Analisar o limite da expressão simplificada:
\lim_{x\to+\infty}\frac{1+\dfrac{1}{x}}{x-1}.
  • Primeiro, \displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{1}{x}=0. (Intuição: conforme x cresce, 1/x fica cada vez menor, aproximando-se de zero.)
  • Logo o numerador tende para 1+0=1.
  • O denominador x-1 tende para +\infty quando x\to+\infty.
  • Quando o numerador tende para um número finito não nulo ( 1) e o denominador tende para +\infty, o quociente tende para 0.

Passo 5

Conclusão do cálculo do limite: a expressão dada tende para 0 quando x\to+\infty.

Resposta

0

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