Calcular \iint_{R}\left(36-4 x^{2}-9 y^{2}\right) d x d y, sendo R a região delimitada por \frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{4}=1.

Passo 1

O enunciado pede
\iint_{R}\bigl(36 - 4x^{2} - 9y^{2}\bigr)\,dx\,dy,
onde R é a elipse definida por
\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{4} \le 1.
Vamos usar mudança de variável para transformar essa elipse no disco unitário e facilitar a integração.

Passo 2

Escolhemos
x = 3u,\quad y = 2v
de modo que a região R vira
u^{2} + v^{2} \le 1.
O jacobiano dessa transformação é
J = \det\begin{pmatrix} \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v}\\[6pt] \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v} \end{pmatrix} = \det\begin{pmatrix} 3 & 0\\\\ 0 & 2 \end{pmatrix} = 6.]

Passo 3

Na nova variável, o integrando fica
36 - 4x^{2} - 9y^{2} = 36 - 4\,(3u)^{2} - 9\,(2v)^{2} = 36 - 36u^{2} - 36v^{2} = 36\bigl(1 - u^{2} - v^{2}\bigr).
Portanto a integral original se transforma em
\iint_{R}(36 - 4x^{2} - 9y^{2})\,dx\,dy = \iint_{u^{2}+v^{2}\le1} 36\bigl(1 - u^{2} - v^{2}\bigr)\cdot 6\,du\,dv = 216 \iint_{u^{2}+v^{2}\le1}\!(1 - u^{2} - v^{2})\,du\,dv.

Passo 4

Para calcular
216 \iint_{u^{2}+v^{2}\le1}(1 - u^{2} - v^{2})\,du\,dv
usamos coordenadas polares no plano (u,v):
u = r\cos\theta,\quad v = r\sin\theta,\quad dA = r\,dr\,d\theta, \quad 0 \le r \le 1,\;0 \le \theta \le 2\pi.
Então
216 \int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{1}(1 - r^{2})\,r\,dr\,d\theta = 216\int_{0}^{2\pi}\!\Bigl[\int_{0}^{1}(r - r^{3})\,dr\Bigr]d\theta.
Dentro,
\int_{0}^{1}(r - r^{3})\,dr = \Bigl[\tfrac12r^{2} - \tfrac14r^{4}\Bigr]_{0}^{1} = \frac12 - \frac14 = \frac14.
Logo
216 \cdot 2\pi \cdot \frac14 = 216 \cdot \frac{\pi}{2} = 108\pi.

Resposta

108\pi

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