Calcular \iint_{R} \sqrt{(x-1)^{2}+(y-2)^{2}} d x d y, sendo R a região delimitada por (x-1)^{2}+(y-2)^{2}=1.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\iint_{R} \sqrt{(x-1)^{2}+(y-2)^{2}}\;dx\,dy
onde R é o disco centrado em (1,2) de raio 1. O conteúdo principal aqui é usar coordenadas polares (após fazer a mudança de variável que centraliza o disco na origem) para simplificar a simetria radial.

Passo 2

Fazemos a translação
u = x - 1, \quad v = y - 2,
de modo que a região R vira o disco \{(u,v)\mid u^2+v^2\le1\}. A integral fica
\iint_{u^2+v^2\le1} \sqrt{u^2+v^2}\;du\,dv.

Passo 3

Passamos a coordenadas polares no plano uv:
u = r\cos\theta, \quad v = r\sin\theta,
com 0\le r\le1 e 0\le\theta\le2\pi. O jacobiano é r, e a distância ao centro é \sqrt{u^2+v^2}=r. Logo a integral vira
\int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{1} r\;\bigl(r\bigr)\;dr\,d\theta = \int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{1} r^{2}\;dr\,d\theta.

Passo 4

Calculamos primeiro a parte radial:
\int_{0}^{1} r^{2}\;dr = \left[\frac{r^{3}}{3}\right]_{0}^{1} = \frac{1}{3}.
Em seguida a parte angular:
\int_{0}^{2\pi} \frac{1}{3}\;d\theta = \frac{1}{3}\cdot 2\pi = \frac{2\pi}{3}.

Resposta

\frac{2\pi}{3}

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