Calcular
, sendo
a região delimitada por
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla
onde
é o disco centrado em
de raio
. O conteúdo principal aqui é usar coordenadas polares (após fazer a mudança de variável que centraliza o disco na origem) para simplificar a simetria radial.
Passo 2
Fazemos a translação
de modo que a região
vira o disco
. A integral fica
Passo 3
Passamos a coordenadas polares no plano
:
com
e
. O jacobiano é
, e a distância ao centro é
. Logo a integral vira
Passo 4
Calculamos primeiro a parte radial:
Em seguida a parte angular: