Calcular
\iint_{S} F . n d S, onde
F(x, y, z)=(x, y, z) e
S é porção do cilindro
x^{2}+(y-1)^{2}=1, entre
z=0 e
z=7-x^{2}-y^{2} a normal se afasta da origem.

Passo 1

O enunciado pede o fluxo de \mathbf{F}(x,y,z)=(x,y,z) através da parte lateral do cilindro
x^{2}+(y-1)^{2}=1
entre z=0 e z=7 - x^{2} - y^{2}, com a normal apontando “para fora” de modo que se afaste da origem. Para resolver precisamos usar parametrização de superfície, fórmula do fluxo
\iint_{S}\mathbf{F}\cdot \mathbf{n}\,dS
e garantir o sentido correto da normal.

Passo 2

Parametrizamos o cilindro de raio 1 centrado em (0,1) por
\mathbf{r}(\theta,z)=\bigl(\cos\theta,\;1+\sin\theta,\;z\bigr),
onde \theta\in[0,2\pi] e z varia de 0 até o teto
z_{\max}=7 - x^{2}-y^{2} =7 - \bigl(\cos^{2}\theta+(1+\sin\theta)^{2}\bigr) =5 - 2\sin\theta.

Passo 3

Calculamos o vetor de área orientado
\mathbf{r}_\theta=\bigl(-\sin\theta,\cos\theta,0\bigr), \quad \mathbf{r}_z=(0,0,1),
\mathbf{r}_\theta\times\mathbf{r}_z =(\cos\theta,\sin\theta,0),
que tem módulo 1 e aponta radialmente para fora do cilindro. Como neste cilindro esse radial coincide com o sentido “afastando-se da origem”, temos
d\mathbf{S} =(\cos\theta,\sin\theta,0)\,d\theta\,dz.

Passo 4

Em cada ponto da superfície \mathbf{r}(\theta,z),
\mathbf{F}=(\cos\theta,1+\sin\theta,z).
Logo o produto escalar é
\mathbf{F}\cdot(\cos\theta,\sin\theta,0) =\cos^{2}\theta+(1+\sin\theta)\sin\theta =1+\sin\theta.
O fluxo torna-se
\iint_{S}\mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,dS =\int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{5-2\sin\theta}(1+\sin\theta)\,dz\,d\theta.

Passo 5

Executando a integral em z:
\int_{0}^{5-2\sin\theta}(1+\sin\theta)\,dz =(1+\sin\theta)\,(5-2\sin\theta) =5+3\sin\theta-2\sin^{2}\theta.
Agora em \theta:
\int_{0}^{2\pi}\bigl(5+3\sin\theta-2\sin^{2}\theta\bigr)d\theta =5\cdot2\pi+3\cdot0-2\int_{0}^{2\pi}\sin^{2}\theta\,d\theta =10\pi-2\pi=8\pi.

Resposta

8\pi.

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