Questão: (8 pontos) Determine o volume do sólido acima do plano
, dentro do cilindro
e abaixo do paraboloide
.
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido que satisfaz simultaneamente:
- Está acima do plano
. - Está dentro do cilindro
. - Está abaixo do paraboloide
.
Como o sólido é de revolução em torno do eixo, vamos usar coordenadas cilíndricas e fazer um integral triplo para achar o volume.
Passo 2
Em coordenadas cilíndricas temos
com jacobiano
.
As condições viram
As condições viram
Logo o volume é
Passo 3
Primeiro integramos em
:
Portanto
Passo 4
Agora integramos em
:
Fica
Passo 5
Finalmente integramos em
:
Resposta
O volume do sólido é
.