\mathbf{2}^{\mathbf{a}} Questão: (8 pontos) Determine o volume do sólido acima do plano z=0, dentro do cilindro x^{2}+y^{2}=2 e abaixo do paraboloide z=x^{2}+y^{2}.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido que satisfaz simultaneamente:
  1. Está acima do plano z=0.
  2. Está dentro do cilindro x^{2}+y^{2}=2.
  3. Está abaixo do paraboloide z=x^{2}+y^{2}.
    Como o sólido é de revolução em torno do eixo z, vamos usar coordenadas cilíndricas (r,\theta,z) e fazer um integral triplo para achar o volume.

Passo 2

Em coordenadas cilíndricas temos
x = r\cos\theta,\quad y = r\sin\theta,\quad z = z,
com jacobiano r.
As condições viram
0 \le r \le \sqrt{2}, \quad 0 \le \theta \le 2\pi, \quad 0 \le z \le r^{2}.
Logo o volume é
V = \iiint_{\text{região}} dV = \int_{\theta=0}^{2\pi}\!\int_{r=0}^{\sqrt{2}}\!\int_{z=0}^{r^{2}} r \,dz\,dr\,d\theta.ã

Passo 3

Primeiro integramos em z:
\int_{z=0}^{r^{2}} r \,dz = r\bigl[z\bigr]_{0}^{r^{2}} = r\cdot (r^{2}) = r^{3}.
Portanto
V = \int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{\sqrt{2}} r^{3}\,dr\,d\theta.

Passo 4

Agora integramos em r:
\int_{0}^{\sqrt{2}} r^{3}\,dr = \biggl[\frac{r^{4}}{4}\biggr]_{0}^{\sqrt{2}} = \frac{(\sqrt{2})^{4}}{4} = \frac{4}{4} = 1.
Fica
V = \int_{0}^{2\pi} 1 \,d\theta.

Passo 5

Finalmente integramos em \theta:
\int_{0}^{2\pi} 1 \,d\theta = 2\pi.

Resposta

O volume do sólido é 2\pi.

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