\mathbf{1}^{\mathbf{a}} Questão: (8 pontos) Calcule o valor da Integral Iterada.
\int_{0}^{1} \int_{\sqrt[3]{x}}^{1}\left(\frac{1}{y^{4}+1}\right) d y d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral iterada
\int_{0}^{1}\int_{\sqrt[3]{x}}^{1}\frac{1}{y^{4}+1}\,dy\,dx,
que envolve troca de ordem de integração e uso de substituição em integrais. Vamos aplicar o Teorema de Fubini para inverter a ordem e simplificar o cálculo.

Passo 2

A região de integração no plano (x,y) é dada por
0 \le x \le 1,\quad \sqrt[3]{x}\le y\le 1.
Para inverter a ordem, note que para cada y entre 0 e 1, o x varia de 0 até y^{3}. Assim reescrevemos
\int_{0}^{1}\int_{\sqrt[3]{x}}^{1}\frac{1}{y^{4}+1}\,dy\,dx =\int_{y=0}^{1}\int_{x=0}^{y^{3}}\frac{1}{y^{4}+1}\,dx\,dy.

Passo 3

Na integral interna em x, a função \frac{1}{y^{4}+1} é constante em relação a x. Logo
\int_{x=0}^{y^{3}}\frac{1}{y^{4}+1}\,dx =\frac{1}{y^{4}+1}\int_{0}^{y^{3}}dx =\frac{y^{3}}{y^{4}+1}.
A integral torna-se então
\int_{0}^{1}\frac{y^{3}}{y^{4}+1}\,dy.

Passo 4

Para calcular
\displaystyle\int_{0}^{1}\frac{y^{3}}{y^{4}+1}\,dy
fazemos a substituição t=y^{4}+1, de modo que dt=4y^{3}dy. Quando y=0, t=1, e quando y=1, t=2. Assim
\int_{0}^{1}\frac{y^{3}}{y^{4}+1}\,dy =\frac{1}{4}\int_{1}^{2}\frac{1}{t}\,dt =\frac{1}{4}\bigl[\ln t\bigr]_{1}^{2} =\frac{1}{4}\ln 2.

Resposta

\frac{1}{4}\ln 2.

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