Calcular \int_{S} \int \mathbf{A} \cdot \mathbf{n} d S ao longo de tôda a superfície S da região limitada pelo cilindro x^{2}+z^{2}=9, x=0, y=0, z=0 e y=8, sendo \mathbf{A}=6 z \mathrm{i}+ +(2 x+y) \mathbf{j}-x \mathbf{k}.
Passo 1
O enunciado pede para calcular o fluxo
\iint_{S} \mathbf{A}\cdot\mathbf{n}\,dS
através de toda a superfície fechada S que limita a região descrita pelas superfícies x^{2}+z^{2}=9, x=0, y=0, z=0 e y=8. A campo vetorial dado é
\begin{aligned} &\text{(i) A região }V\text{ é o sólido com }x^{2}+z^{2}\le 9,\;x\ge 0,\;z\ge 0,\;0\le y\le 8.\\\ &\text{(ii) A superfície }S\text{ é a fronteira fechada desse sólido (faces planas e face cilíndrica).}\\\ &\text{(iii) Precisamos do fluxo total saindo da região (normais externas).} \end{aligned}
Passo 2
Escolha do método: não foi exigido um método específico no enunciado, então optamos por usar o Teorema da Divergência (Gauss). Vou explicar o teorema de forma simples e por que é útil aqui.
O Teorema da Divergência diz que, para um campo vetorial suficientemente suave \mathbf{A} e uma região V com fronteira fechada S (com normal externa),
Onde \nabla\cdot\mathbf{A} é a divergência de \mathbf{A}, que mede a “taxa de saída” do campo por unidade de volume. Usamos esse teorema porque ele transforma um integral de superfície, que exigiria tratar várias faces com normas diferentes, em um integral triplo mais simples sobre o volume — muitas vezes apenas o volume multiplicado por uma função simples (a divergência). Aqui isso vai simplificar muito.
Passo 3
Calcular a divergência \nabla\cdot\mathbf{A}. Definição: se \mathbf{A}=A_x\,\mathbf{i}+A_y\,\mathbf{j}+A_z\,\mathbf{k}, então
Agora precisamos calcular o volume da região V: é a parte do cilindro de raio 3 (porque x^{2}+z^{2}\le 9) limitada entre y=0 e y=8, e com x\ge 0, z\ge 0. Ou seja, é um quarto do cilindro reto de raio 3 e altura 8.
Vou calcular o volume explicitamente usando coordenadas cilíndricas no plano x-z.
Passo 5
Passagem para coordenadas cilíndricas apropriadas (no plano x-z): definimos
x=r\cos\theta,\qquad z=r\sin\theta,
com r\ge 0 e \theta o ângulo medido a partir do eixo x. Como temos x\ge 0 e z\ge 0, o ângulo \theta varia de 0 a \pi/2. O raio vai de 0 até 3. A coordenada y varia de 0 a 8. O elemento de volume em coordenadas cilíndricas (com referência a x,z como polares) é dV=r\,dr\,d\theta\,dy.