Resolva as seguintes equações no campo dos
3 \mathrm{x}^{3}+192=0

Passo 1

O enunciado dá a equação
3x^{3}+192=0
e pede que a resolvamos (ou seja, que encontremos todos os valores de x que satisfazem essa equação). Informações relevantes: o coeficiente do termo cúbico é 3 e o termo constante é 192. A incógnita é x. Não há outras restrições explícitas no enunciado.

Passo 2

Primeiro passo algébrico: isolar x^{3}. Subtraímos 192 de ambos os lados e dividimos por 3. Passo a passo:
3x^{3}+192=0
3x^{3}=-192
x^{3}=\frac{-192}{3}
x^{3}=-64

Passo 3

Agora precisamos resolver a equação \,x^{3}=-64. Vou explicar duas ideias importantes que usamos aqui.
  1. Raiz real: para potências ímpares (como 3), números negativos têm raiz real negativa. Por exemplo, (-4)^{3}=-64. Portanto x=-4 é uma solução real óbvia.
  2. Raízes complexas: toda equação do tipo \,z^{n}=R (com R complexo não nulo) tem exatamente n raízes complexas. Uma forma prática de obter todas as raízes é escrever R em forma polar R=r\,e^{i\theta} (onde r>0 é o módulo e \theta é o argumento) e usar a fórmula das raízes n-ésimas:
z_{k}=r^{1/n}\,e^{i(\theta+2k\pi)/n}\quad\text{para }k=0,1,\dots,n-1.
Aqui r^{1/n} é a raiz real positiva do módulo e \theta é escolhido de modo que r\,e^{i\theta}=R. Essa fórmula vem da representação polar e da propriedade e^{i\alpha}e^{i\beta}=e^{i(\alpha+\beta)}.

Passo 4

Apliquemos a ideia polar ao nosso caso \,x^{3}=-64. Escrevemos -64 em forma polar. O módulo é 64 e um argumento conveniente é \pi (porque -64=64\,e^{i\pi}). Assim r=64, \theta=\pi e n=3. Usando a fórmula:
x_{k}=64^{1/3}\,e^{i(\pi+2k\pi)/3}\quad\text{para }k=0,1,2.
Como 64^{1/3}=4, obtemos
x_{k}=4\,e^{i(\pi+2k\pi)/3}\quad(k=0,1,2).

Passo 5

Calculemos explicitamente os três valores para k=0,1,2.
  • Para k=0:
x_{0}=4\,e^{i\pi/3}=4\big(\cos(\tfrac{\pi}{3})+i\sin(\tfrac{\pi}{3})\big).
Sabemos \cos(\tfrac{\pi}{3})=\tfrac{1}{2} e \sin(\tfrac{\pi}{3})=\tfrac{\sqrt{3}}{2}. Logo
x_{0}=4\Big(\tfrac{1}{2}+i\tfrac{\sqrt{3}}{2}\Big)=2+2i\sqrt{3}.
  • Para k=1:
x_{1}=4\,e^{i(\pi+2\pi)/3}=4\,e^{i\pi}=4(\cos\pi+i\sin\pi)=4(-1+0i)=-4.
Esse é o valor real que já havíamos observado.
  • Para k=2:
x_{2}=4\,e^{i(\pi+4\pi)/3}=4\,e^{i5\pi/3}=4\big(\cos(\tfrac{5\pi}{3})+i\sin(\tfrac{5\pi}{3})\big).
Sabemos \cos(\tfrac{5\pi}{3})=\tfrac{1}{2} e \sin(\tfrac{5\pi}{3})=-\tfrac{\sqrt{3}}{2}. Assim
x_{2}=4\Big(\tfrac{1}{2}-i\tfrac{\sqrt{3}}{2}\Big)=2-2i\sqrt{3}.

Passo 6

Verificação rápida (mental): o módulo de 2\pm 2i\sqrt{3} é 4, e o argumento é \pm\tfrac{\pi}{3}; ao elevar ao cubo o módulo vira 4^{3}=64 e o argumento triplica para \pm\pi, resultando em 64e^{i\pi}=-64. Para x=-4 temos (-4)^{3}=-64. Portanto todos satisfazem a equação.

Resposta

x=-4
x=2+2i\sqrt{3}
x=2-2i\sqrt{3}

Exercícios relacionados