Resolva as seguintes equações no campo dos
3 \mathrm{x}^{3}+192=0
3 \mathrm{x}^{3}+192=0
Passo 1
O enunciado dá a equação
e pede que a resolvamos (ou seja, que encontremos todos os valores de
que satisfazem essa equação). Informações relevantes: o coeficiente do termo cúbico é
e o termo constante é
. A incógnita é
. Não há outras restrições explícitas no enunciado.
Passo 2
Primeiro passo algébrico: isolar
. Subtraímos
de ambos os lados e dividimos por
. Passo a passo:
Passo 3
Agora precisamos resolver a equação
. Vou explicar duas ideias importantes que usamos aqui.
-
Raiz real: para potências ímpares (como
), números negativos têm raiz real negativa. Por exemplo, . Portanto é uma solução real óbvia. -
Raízes complexas: toda equação do tipo
(com complexo não nulo) tem exatamente raízes complexas. Uma forma prática de obter todas as raízes é escrever em forma polar (onde é o módulo e é o argumento) e usar a fórmula das raízes -ésimas:
Aqui
é a raiz real positiva do módulo e
é escolhido de modo que
. Essa fórmula vem da representação polar e da propriedade
.
Passo 4
Apliquemos a ideia polar ao nosso caso
. Escrevemos
em forma polar. O módulo é
e um argumento conveniente é
(porque
). Assim
,
e
. Usando a fórmula:
Como
, obtemos
Passo 5
Calculemos explicitamente os três valores para
.
- Para
:
Sabemos
e
. Logo
- Para
:
Esse é o valor real que já havíamos observado.
- Para
:
Sabemos
e
. Assim
Passo 6
Verificação rápida (mental): o módulo de
é
, e o argumento é
; ao elevar ao cubo o módulo vira
e o argumento triplica para
, resultando em
. Para
temos
. Portanto todos satisfazem a equação.