Um triângulo equilátero, inscrito em uma circunferência de centro de origem, tem como um dos vértices o ponto do plano associado ao número complexo \sqrt{3}+\mathrm{i}. Determine:
a) Que números complexos estão associados aos outros dois vértices do mesmo triângulo faça a representação no plano de Argand-Gauss.
R: (-\sqrt{3} ; 1) ;(\sqrt{3} ; 1) e (0 ;-2)
b) Qual a medida do lado desse triângulo e área? R: \sqrt{12} u.c e 2 \sqrt{3} u.a.

Passo 1

O enunciado dá: um triângulo equilátero está inscrito numa circunferência cujo centro é a origem do plano complexo. Um dos vértices é o ponto associado ao número complexo \sqrt{3}+\mathrm{i}. Pede-se:
a) os números complexos associados aos outros dois vértices e a representação no plano de Argand–Gauss (ou seja, as coordenadas desses vértices);
b) a medida do lado desse triângulo e a área do triângulo.
Informações relevantes dadas: o centro da circunferência é a origem e um vértice é \sqrt{3}+\mathrm{i}. Nada mais é pedido além dos itens (a) e (b).

Passo 2

Vamos escrever o vértice conhecido em forma polar (magnitude e argumento), porque rotações ficam muito fáceis nessa forma. Seja
z_0=\sqrt{3}+\mathrm{i}.
A magnitude (módulo) é
|z_0|=\sqrt{(\sqrt{3})^{2}+1^{2}}=\sqrt{3+1}=\sqrt{4}=2.
O argumento \theta é dado por \tan\theta=\dfrac{\Im(z_0)}{\Re(z_0)}=\dfrac{1}{\sqrt{3}}, portanto
\theta=\frac{\pi}{6}\quad(=30^\circ).
Logo, em forma exponencial/ polar:
z_0=2\mathrm{e}^{\mathrm{i}\pi/6}.
Explicação curta: escrever z_0 assim mostra que ele está a distância 2 da origem e faz ângulo \pi/6 com o eixo real.

Passo 3

Para obter os outros vértices do triângulo equilátero com centro na origem, basta rotacionar z_0 em \pm 120^\circ (ou \pm \tfrac{2\pi}{3} radianos) em torno da origem. Em termos de números complexos, rotacionar por um ângulo \varphi equivale a multiplicar por \mathrm{e}^{\mathrm{i}\varphi}. Portanto os outros vértices são
z_1=z_0\mathrm{e}^{\mathrm{i}2\pi/3},\qquad z_2=z_0\mathrm{e}^{-\mathrm{i}2\pi/3}.
Aqui usamos a propriedade: multiplicar por \mathrm{e}^{\mathrm{i}2\pi/3} gira o vetor posição em +120^\circ, e por \mathrm{e}^{-\mathrm{i}2\pi/3} gira em -120^\circ.

Passo 4

Calculemos explicitamente \mathrm{e}^{\mathrm{i}2\pi/3} e \mathrm{e}^{-\mathrm{i}2\pi/3}:
\mathrm{e}^{\mathrm{i}2\pi/3}=\cos\frac{2\pi}{3}+\mathrm{i}\sin\frac{2\pi}{3}=-\tfrac{1}{2}+\mathrm{i}\tfrac{\sqrt{3}}{2},
\mathrm{e}^{-\mathrm{i}2\pi/3}=\cos\frac{2\pi}{3}-\mathrm{i}\sin\frac{2\pi}{3}=-\tfrac{1}{2}-\mathrm{i}\tfrac{\sqrt{3}}{2}.

Passo 5

Multiplicamos z_0 por \mathrm{e}^{\mathrm{i}2\pi/3}. Façamos a conta passo a passo com z_0=\sqrt{3}+\mathrm{i}:
z_1=(\sqrt{3}+\mathrm{i})\left(-\tfrac{1}{2}+\mathrm{i}\tfrac{\sqrt{3}}{2}\right).
Expandindo e separando parte real e imaginária:
\begin{aligned} z_1&=-\tfrac{\sqrt{3}}{2}+\mathrm{i}\tfrac{3}{2}-\mathrm{i}\tfrac{1}{2}-\tfrac{\sqrt{3}}{2}\\\ &=\left(-\tfrac{\sqrt{3}}{2}-\tfrac{\sqrt{3}}{2}\right)+\mathrm{i}\left(\tfrac{3}{2}-\tfrac{1}{2}\right)\\\ &=-\sqrt{3}+\mathrm{i}. \end{aligned}
Portanto z_1=-\sqrt{3}+\mathrm{i}, que corresponde à coordenada (-\sqrt{3},\,1) no plano.

Passo 6

Agora multiplicamos por \mathrm{e}^{-\mathrm{i}2\pi/3}:
z_2=(\sqrt{3}+\mathrm{i})\left(-\tfrac{1}{2}-\mathrm{i}\tfrac{\sqrt{3}}{2}\right).
Expandindo:
\begin{aligned} z_2&=-\tfrac{\sqrt{3}}{2}-\mathrm{i}\tfrac{3}{2}-\mathrm{i}\tfrac{1}{2}+\tfrac{\sqrt{3}}{2}\\\ &=\left(-\tfrac{\sqrt{3}}{2}+\tfrac{\sqrt{3}}{2}\right)+\mathrm{i}\left(-\tfrac{3}{2}-\tfrac{1}{2}\right)\\\ &=0-\mathrm{i}2\\\ &=-2\mathrm{i}. \end{aligned}
Portanto z_2=-2\mathrm{i}, que corresponde à coordenada (0,\,-2) no plano.

Passo 7

Comentário sobre a representação no plano: os três vértices são
(\sqrt{3},1),\qquad (-\sqrt{3},1),\qquad (0,-2),
todos a distância 2 da origem (verificável por \sqrt{(\pm\sqrt{3})^{2}+1^{2}}=\sqrt{3+1}=2 e |-2\mathrm{i}|=2), portanto estão sobre a circunferência de raio 2 centrada na origem. Visualmente, dois vértices ficam simétricos em relação ao eixo y com y=1 e o terceiro fica abaixo em y=-2, formando um triângulo equilátero com altura 3.

Passo 8

Agora a medida do lado. Use a fórmula distância entre dois pontos complexos: para z_a e z_b, o comprimento do segmento é |z_a-z_b|. Tomando z_0=\sqrt{3}+\mathrm{i} e z_1=-\sqrt{3}+\mathrm{i},
z_0-z_1=(\sqrt{3}+\mathrm{i})-(-\sqrt{3}+\mathrm{i})=2\sqrt{3},
então
\text{lado } s=|z_0-z_1|=|2\sqrt{3}|=2\sqrt{3}=\sqrt{12}.
Podemos checar com outro par, por exemplo z_0 e z_2:
z_0-z_2=(\sqrt{3}+\mathrm{i})-(-2\mathrm{i})=\sqrt{3}+\mathrm{i}+2\mathrm{i}=\sqrt{3}+3\mathrm{i},
|z_0-z_2|=\sqrt{(\sqrt{3})^{2}+3^{2}}=\sqrt{3+9}=\sqrt{12}=2\sqrt{3},
mesma medida, como esperado.

Passo 9

Área do triângulo equilátero: se o lado vale s, a área é dada por
A=\frac{\sqrt{3}}{4}s^{2}.
Substituindo s=2\sqrt{3}:
A=\frac{\sqrt{3}}{4}\bigl(2\sqrt{3}\bigr)^{2}=\frac{\sqrt{3}}{4}\cdot 12=3\sqrt{3}.
Verificação alternativa usando base e altura: colocando a base entre os pontos (\sqrt{3},1) e (-\sqrt{3},1) a base tem comprimento 2\sqrt{3}, a altura é a diferença de y entre base ( y=1) e o vértice inferior ( y=-2), ou seja 3. Assim
A=\frac{\text{base}\times\text{altura}}{2}=\frac{2\sqrt{3}\cdot 3}{2}=3\sqrt{3},
mesmo resultado.

Resposta

a) -\sqrt{3}+\mathrm{i},\; -2\mathrm{i} (coordenadas (-\sqrt{3},1),\;(0,-2))
b) lado \sqrt{12}=2\sqrt{3}; área 3\sqrt{3}

Exercícios relacionados