Um triângulo equilátero, inscrito em uma circunferência de centro de origem, tem como um dos vértices o ponto do plano associado ao número complexo
. Determine:
a) Que números complexos estão associados aos outros dois vértices do mesmo triângulo faça a representação no plano de Argand-Gauss.
R:
e
b) Qual a medida do lado desse triângulo e área? R:
u.c e
u.a.
a) Que números complexos estão associados aos outros dois vértices do mesmo triângulo faça a representação no plano de Argand-Gauss.
R:
b) Qual a medida do lado desse triângulo e área? R:
Passo 1
O enunciado dá: um triângulo equilátero está inscrito numa circunferência cujo centro é a origem do plano complexo. Um dos vértices é o ponto associado ao número complexo
. Pede-se:
a) os números complexos associados aos outros dois vértices e a representação no plano de Argand–Gauss (ou seja, as coordenadas desses vértices);
b) a medida do lado desse triângulo e a área do triângulo.
Informações relevantes dadas: o centro da circunferência é a origem e um vértice é . Nada mais é pedido além dos itens (a) e (b).
a) os números complexos associados aos outros dois vértices e a representação no plano de Argand–Gauss (ou seja, as coordenadas desses vértices);
b) a medida do lado desse triângulo e a área do triângulo.
Informações relevantes dadas: o centro da circunferência é a origem e um vértice é
Passo 2
Vamos escrever o vértice conhecido em forma polar (magnitude e argumento), porque rotações ficam muito fáceis nessa forma. Seja
A magnitude (módulo) é
O argumento
é dado por
, portanto
Logo, em forma exponencial/ polar:
Explicação curta: escrever
assim mostra que ele está a distância
da origem e faz ângulo
com o eixo real.
Passo 3
Para obter os outros vértices do triângulo equilátero com centro na origem, basta rotacionar
em
(ou
radianos) em torno da origem. Em termos de números complexos, rotacionar por um ângulo
equivale a multiplicar por
. Portanto os outros vértices são
Aqui usamos a propriedade: multiplicar por
gira o vetor posição em
, e por
gira em
.
Passo 4
Calculemos explicitamente
e
:
Passo 5
Multiplicamos
por
. Façamos a conta passo a passo com
:
Expandindo e separando parte real e imaginária:
Portanto
, que corresponde à coordenada
no plano.
Passo 6
Agora multiplicamos por
:
Expandindo:
Portanto
, que corresponde à coordenada
no plano.
Passo 7
Comentário sobre a representação no plano: os três vértices são
todos a distância
da origem (verificável por
e
), portanto estão sobre a circunferência de raio
centrada na origem. Visualmente, dois vértices ficam simétricos em relação ao eixo
com
e o terceiro fica abaixo em
, formando um triângulo equilátero com altura
.
Passo 8
Agora a medida do lado. Use a fórmula distância entre dois pontos complexos: para
e
, o comprimento do segmento é
. Tomando
e
,
então
Podemos checar com outro par, por exemplo
e
:
mesma medida, como esperado.
Passo 9
Área do triângulo equilátero: se o lado vale
, a área é dada por
Substituindo
:
Verificação alternativa usando base e altura: colocando a base entre os pontos
e
a base tem comprimento
, a altura é a diferença de
entre base (
) e o vértice inferior (
), ou seja
. Assim
mesmo resultado.
Resposta
a)
(coordenadas
)
b) lado ; área
b) lado