Calcular \int_{-1}^{1} x \sqrt{1+x^{2}} d x.
Solução. Fazendo u=1+x^{2}, calculamos \int x \sqrt{1+x^{2}} d x=\frac{1}{3} \sqrt{\left(1+x^{2}\right)^{3}}+C.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{-1}^{1} x \sqrt{1+x^{2}} \,dx.
O conteúdo envolve reconhecimento de paridade de função e, se preferir, uso de substituição para encontrar a primitiva.

Passo 2

Definimos f(x)=x\sqrt{1+x^{2}}. Note que
f(-x)=(-x)\sqrt{1+(-x)^{2}} =-x\sqrt{1+x^{2}} =-f(x),
ou seja, f é uma função ímpar. Pelo teorema da paridade, a integral de uma função ímpar em [-a,a] é zero:
\int_{-1}^{1}f(x)\,dx=0.

Passo 3

Para confirmar via primitiva, usamos a substituição u=1+x^{2}, de modo que du=2x\,dx. Então
\int x\sqrt{1+x^{2}}\,dx =\frac{1}{2}\int \sqrt{u}\,du =\frac{1}{2}\cdot\frac{2}{3}u^{3/2}+C =\frac{1}{3}(1+x^{2})^{3/2}+C.

Passo 4

Avaliando nos limites,
F(x)=\frac{1}{3}(1+x^{2})^{3/2},
temos
F(1)-F(-1) =\frac{1}{3}(2)^{3/2}-\frac{1}{3}(2)^{3/2} =0.

Resposta

0

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