Verdadeiro ou falso? Se verdadeiro, prove/explique a razão, se falso prove/explique ou dê um contraexemplo.
(a) Se \int_{a}^{\infty} f(x) d x e \int_{a}^{\infty} g(x) d x ambas divergem então \int_{a}^{\infty}[f(x)+g(x)] d x também diverge.

Passo 1

O enunciado pergunta se, sempre que as integrais impróprias
\int_{a}^{\infty}f(x)\,dx
e
\int_{a}^{\infty}g(x)\,dx
divergem, também diverge
\int_{a}^{\infty}\bigl[f(x)+g(x)\bigr]\,dx.
O conteúdo envolvido é o de integrais impróprias e suas noções de convergência/divergência, bem como a linearidade formal das integrais.

Passo 2

Para refutar uma afirmação “sempre” basta encontrar um contraexemplo. Vamos escolher duas funções constantes simples:
f(x)=1, \quad g(x)=-1.

Passo 3

Calculemos cada integral separadamente para R>a:
\int_{a}^{R}f(x)\,dx =\int_{a}^{R}1\,dx =R-a.
Quando R\to\infty, R-a\to+\infty, logo
\int_{a}^{\infty}f(x)\,dx
diverge para +\infty. Analogamente,
\int_{a}^{R}g(x)\,dx =\int_{a}^{R}(-1)\,dx =-(R-a)
tende a -\infty quando R\to\infty, ou seja,
\int_{a}^{\infty}g(x)\,dx
também diverge.

Passo 4

Agora a soma das duas funções é zero:
f(x)+g(x)=1+(-1)=0.
Logo, para todo R,
\int_{a}^{R}\bigl[f(x)+g(x)\bigr]\,dx =\int_{a}^{R}0\,dx =0.
Tomando R\to\infty, esse valor permanece 0, de modo que
\int_{a}^{\infty}\bigl[f(x)+g(x)\bigr]\,dx
converge.

Resposta

A afirmação é falsa. O contraexemplo f(x)=1, g(x)=-1 mostra que cada integral individual diverge, mas a integral da soma converge.

Exercícios relacionados