Verdadeiro ou falso? Se verdadeiro, prove/explique a razão, se falso prove/explique ou dê um contraexemplo.
(a) Se
e
ambas divergem então
também diverge.
(a) Se
Passo 1
O enunciado pergunta se, sempre que as integrais impróprias
e
divergem, também diverge
O conteúdo envolvido é o de integrais impróprias e suas noções de convergência/divergência, bem como a linearidade formal das integrais.
Passo 2
Para refutar uma afirmação “sempre” basta encontrar um contraexemplo. Vamos escolher duas funções constantes simples:
Passo 3
Calculemos cada integral separadamente para
:
Quando
,
, logo
diverge para
. Analogamente,
tende a
quando
, ou seja,
também diverge.
Passo 4
Agora a soma das duas funções é zero:
Logo, para todo
,
Tomando
, esse valor permanece
, de modo que
converge.
Resposta
A afirmação é falsa. O contraexemplo
,
mostra que cada integral individual diverge, mas a integral da soma converge.