Calcular as integrais abaixo usando o método da mudança de variável (substituição simples).
integral 3 x(4+5 x^2)^2 d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral
integral 3xl(4+5x^2r)^2,dx
usando o método da substituição simples. Aqui o conteúdo é antiderivação por mudança de variável: identificamos uma parte interna cuja derivada aparece no numerador.

Passo 2

Escolhemos a substituição
u = 4 + 5x^2
Diferenciando, vem
du = 10x,dx Longrightarrow x,dx = du10

Passo 3

Substituindo na integral original, obtemos
integral 3xl(4+5x^2r)^2,dx = integral 3u^2,du10 = 310,integral u^-2,du
Agora integramos u^-2:
integral u^-2,du = -u^-1,
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310,integral u^-2,du = 310,(-u^-1) = -310u

Passo 4

Voltando à variável x usando u=4+5x^2, o resultado final é
-310l(4+5x^2r) + C,
onde C é a constante de integração.

Resposta

-dfrac310,l(4+5x^2r) + C

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