Calcular as integrais em coordenadas esféricas:
\int_{0}^{\pi} \int_{0}^{\pi} \int_{0}^{\operatorname{sen} \varphi} \rho^{2} \operatorname{sen} \varphi d \rho d \varphi d \theta

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do integral triplo
\int_{0}^{\pi} \int_{0}^{\pi} \int_{0}^{\sin \varphi} \rho^{2}\sin \varphi \, d\rho \, d\varphi \, d\theta.
Informações e limites dados:
  • A variável \rho varia de 0 até \sin\varphi.
  • A variável \varphi varia de 0 até \pi.
  • A variável \theta varia de 0 até \pi.
  • O integrando é \rho^{2}\sin\varphi.
O que é pedido: calcular o valor numérico dessa integral (um número real).

Passo 2

Entendendo as variáveis e o integrando (recap rápido, útil para a prova).
  • \rho representa uma distância radial (consta como variável de integração).
  • \varphi é um ângulo (aparece dentro de \sin\varphi).
  • \theta é outro ângulo e aparece apenas nos limites.
  • A expressão \rho^{2}\sin\varphi depende de \rho e \varphi. Quando integrarmos em \rho devemos tratar \sin\varphi como constante.
É conveniente integrar na ordem dada: primeiro em \rho, depois em \varphi e por fim em \theta, porque os limites de \rho dependem de \varphi mas não de \rho nem de \theta.

Passo 3

Integrando em \rho (primeira integração).
Coloco \sin\varphi fora da integral em \rho pois é constante em relação a \rho. Assim:
\int_{0}^{\sin\varphi} \rho^{2}\sin\varphi \, d\rho = \sin\varphi \int_{0}^{\sin\varphi} \rho^{2} \, d\rho.
A primitiva de \rho^{2} é \dfrac{1}{3}\rho^{3}. Avaliando de 0 a \sin\varphi
\sin\varphi \cdot \left[\frac{1}{3}\rho^{3}\right]_{0}^{\sin\varphi} = \sin\varphi \cdot \frac{1}{3}\sin^{3}\varphi = \frac{1}{3}\sin^{4}\varphi.
Portanto a integral tripla fica agora
\int_{0}^{\pi}\int_{0}^{\pi} \frac{1}{3}\sin^{4}\varphi \, d\varphi \, d\theta.

Passo 4

Separando as integrais independentes e fatorando constantes.
A expressão não depende de \theta, então a integral em \theta simplesmente dá o comprimento do intervalo de \theta:
\int_{0}^{\pi}\int_{0}^{\pi} \frac{1}{3}\sin^{4}\varphi \, d\varphi \, d\theta = \left(\int_{0}^{\pi} d\theta\right)\left(\int_{0}^{\pi} \frac{1}{3}\sin^{4}\varphi \, d\varphi\right) = \pi \cdot \frac{1}{3}\int_{0}^{\pi}\sin^{4}\varphi \, d\varphi.
Logo precisamos calcular \int_{0}^{\pi}\sin^{4}\varphi \, d\varphi.

Passo 5

Cálculo de \int_{0}^{\pi}\sin^{4}\varphi \, d\varphi com identidade trigonométrica.
Usamos \sin^{2}\varphi = \dfrac{1-\cos(2\varphi)}{2}. Então
\sin^{4}\varphi = (\sin^{2}\varphi)^{2} = \left(\frac{1-\cos(2\varphi)}{2}\right)^{2} = \frac{1}{4}\big(1 - 2\cos(2\varphi) + \cos^{2}(2\varphi)\big).
Agora \cos^{2}(2\varphi) = \dfrac{1+\cos(4\varphi)}{2}. Substituindo:
\sin^{4}\varphi = \frac{1}{4}\left(1 - 2\cos(2\varphi) + \frac{1+\cos(4\varphi)}{2}\right) = \frac{3}{8} - \frac{1}{2}\cos(2\varphi) + \frac{1}{8}\cos(4\varphi).
Integramos termo a termo em [0,\pi]. As integrais de \cos(2\varphi) e \cos(4\varphi) sobre um período inteiro múltiplo dão zero:
\int_{0}^{\pi}\cos(2\varphi)\,d\varphi = 0,\qquad \int_{0}^{\pi}\cos(4\varphi)\,d\varphi = 0.
Portanto
\int_{0}^{\pi}\sin^{4}\varphi \, d\varphi = \int_{0}^{\pi}\left(\frac{3}{8}\right)d\varphi = \frac{3}{8}\cdot \pi.

Passo 6

Juntando tudo e simplificando.
Retornando à expressão do Passo 4:
\text{Integral} = \pi \cdot \frac{1}{3}\int_{0}^{\pi}\sin^{4}\varphi \, d\varphi = \pi \cdot \frac{1}{3}\cdot \frac{3}{8}\pi = \pi \cdot \frac{1}{8}\pi = \frac{\pi^{2}}{8}.

Resposta

\dfrac{\pi^{2}}{8}

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