Calcular as integrais em coordenadas esféricas:
Passo 1
O enunciado pede o cálculo do integral triplo
Informações e limites dados:
- A variável
varia de até . - A variável
varia de até . - A variável
varia de até . - O integrando é
.
O que é pedido: calcular o valor numérico dessa integral (um número real).
Passo 2
Entendendo as variáveis e o integrando (recap rápido, útil para a prova).
-
representa uma distância radial (consta como variável de integração). -
é um ângulo (aparece dentro de ). -
é outro ângulo e aparece apenas nos limites. - A expressão
depende de e . Quando integrarmos em devemos tratar como constante.
É conveniente integrar na ordem dada: primeiro em
, depois em
e por fim em
, porque os limites de
dependem de
mas não de
nem de
.
Passo 3
Integrando em
(primeira integração).
Coloco fora da integral em
pois é constante em relação a
. Assim:
Coloco
A primitiva de
é
. Avaliando de
a
dá
Portanto a integral tripla fica agora
Passo 4
Separando as integrais independentes e fatorando constantes.
A expressão não depende de , então a integral em
simplesmente dá o comprimento do intervalo de
:
A expressão não depende de
Logo precisamos calcular
.
Passo 5
Cálculo de
com identidade trigonométrica.
Usamos . Então
Usamos
Agora
. Substituindo:
Integramos termo a termo em
. As integrais de
e
sobre um período inteiro múltiplo dão zero:
Portanto
Passo 6
Juntando tudo e simplificando.
Retornando à expressão do Passo 4:
Retornando à expressão do Passo 4: