Encontre a área da região limitada pela curva
\frac{(x-1)^{2}}{4}+\frac{(y+2)^{2}}{9}=1 .

Passo 1

O enunciado pede: "Encontre a área da região limitada pela curva
\frac{(x-1)^{2}}{4}+\frac{(y+2)^{2}}{9}=1 ."
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A equação envolve (x-1)^{2} e (y+2)^{2}.
  • Nos denominadores aparecem 4 e 9.
  • A região pedida é a região limitada pela curva dada (ou seja, a região fechada contida por essa equação).

Passo 2

Interpretar a forma da equação e identificar parâmetros importantes sem resolver nada complicado ainda.
A equação tem a forma geral
\frac{(x-h)^{2}}{a^{2}}+\frac{(y-k)^{2}}{b^{2}}=1,
onde h e k são as coordenadas do centro e a e b são os comprimentos dos semi-eixos ao longo dos eixos x e y, respectivamente.
Comparando com a equação dada:
\frac{(x-1)^{2}}{4}+\frac{(y+2)^{2}}{9}=1,
podemos ler diretamente os parâmetros (isto é, extrair os números que o enunciado forneceu):
  • h=1 (porque aparece (x-1)),
  • k=-2 (porque aparece (y+2)),
  • a^{2}=4 e b^{2}=9.
Agora calculemos a e b explicitamente:
a=\sqrt{4}=2,\qquad b=\sqrt{9}=3.

Passo 3

Explicar o método para obter a área (a fórmula que vamos usar) e por que ela vale.
Fato prático que usaremos (explicado em seguida): a área da região limitada por uma equação da forma
\frac{(x-h)^{2}}{a^{2}}+\frac{(y-k)^{2}}{b^{2}}=1
é dada por
\text{Área}=\pi a b.Á
Por que essa fórmula vale? Explicação didática passo a passo:
  • Considere a transformação linear + translação
u=\frac{x-h}{a},\qquad v=\frac{y-k}{b}.
  • Essa transformação envia a elipse para o disco unitário \{(u,v)\mid u^{2}+v^{2}\le 1\}, porque a equação da elipse se torna u^{2}+v^{2}=1.
  • Escrevendo ao contrário:
x=h+a u,\qquad y=k+b v.
  • A matriz jacobiana da transformação (u,v)\mapsto(x,y) é
\begin{pmatrix} \partial x/\partial u & \partial x/\partial v\\[4pt] \partial y/\partial u & \partial y/\partial v \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a & 0\\[4pt] 0 & b \end{pmatrix},
cujo determinante é ab.
  • A área transforma-se multiplicada pelo valor absoluto do determinante jacobiano. Logo
\text{Área da elipse}=\iint_{\text{elipse}} dA =\iint_{u^{2}+v^{2}\le 1} | \det J |\, dA_{uv} =ab\iint_{u^{2}+v^{2}\le 1} dA_{uv}.Á
  • A área do disco unitário é \pi\cdot 1^{2}=\pi. Assim
\text{Área da elipse}=ab\cdot \pi=\pi a b.Á
Nas fórmulas acima: h,k são as coordenadas do centro (translação), a é o semi-eixo no sentido x, b é o semi-eixo no sentido y, J é a matriz jacobiana da transformação de variáveis e dA é o elemento de área.]

Passo 4

Aplicar a fórmula com os valores encontrados.
Temos a=2 e b=3. Então
\text{Área}=\pi a b=\pi\cdot 2\cdot 3=6\pi.Á

Passo 5

Comentário rápido de reforço (para a prova): decorar a fórmula \text{Área}=\pi a bÁ é útil; se a elipse estiver deslocada (centro (h,k)) isso não altera a área — só os comprimentos dos semi-eixos a e b importam. Se na prova aparecer uma equação com denominadores a^{2} e b^{2}, basta extrair a e b e aplicar a fórmula.

Resposta

6\pi

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