Encontre a área da região limitada pela curva
Passo 1
O enunciado pede: "Encontre a área da região limitada pela curva
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- A equação envolve
e . - Nos denominadores aparecem
e . - A região pedida é a região limitada pela curva dada (ou seja, a região fechada contida por essa equação).
Passo 2
Interpretar a forma da equação e identificar parâmetros importantes sem resolver nada complicado ainda.
A equação tem a forma geral
onde
e
são as coordenadas do centro e
e
são os comprimentos dos semi-eixos ao longo dos eixos
e
, respectivamente.
Comparando com a equação dada:
podemos ler diretamente os parâmetros (isto é, extrair os números que o enunciado forneceu):
-
(porque aparece ), -
(porque aparece ), -
e .
Agora calculemos
e
explicitamente:
Passo 3
Explicar o método para obter a área (a fórmula que vamos usar) e por que ela vale.
Fato prático que usaremos (explicado em seguida): a área da região limitada por uma equação da forma
é dada por
Por que essa fórmula vale? Explicação didática passo a passo:
- Considere a transformação linear + translação
- Essa transformação envia a elipse para o disco unitário
, porque a equação da elipse se torna . - Escrevendo ao contrário:
- A matriz jacobiana da transformação
é
cujo determinante é
.
- A área transforma-se multiplicada pelo valor absoluto do determinante jacobiano. Logo
- A área do disco unitário é
. Assim
Nas fórmulas acima:
são as coordenadas do centro (translação),
é o semi-eixo no sentido
,
é o semi-eixo no sentido
,
é a matriz jacobiana da transformação de variáveis e
é o elemento de área.]
Passo 4
Aplicar a fórmula com os valores encontrados.
Temos
e
. Então
Passo 5
Comentário rápido de reforço (para a prova): decorar a fórmula
é útil; se a elipse estiver deslocada (centro
) isso não altera a área — só os comprimentos dos semi-eixos
e
importam. Se na prova aparecer uma equação com denominadores
e
, basta extrair
e
e aplicar a fórmula.