O que o enunciado dá e o que pede (peguei tudo do enunciado):
É dada a equação do círculo \;x^{2}+y^{2}=r^{2}\;.
Aqui \;r\; é o raio do círculo. Assumimos \;r>0\;.
O enunciado pede: encontrar a área da região limitada por esse círculo (ou seja, a área do disco de raio \;r\;).
Passo 2
Escolha do método e ideia principal (explicação didática e intuitiva):
Uma maneira muito direta e elegante de calcular áreas de regiões radiais (como círculos) é usar coordenadas polares. Vou explicar o que são e por que isso facilita.
Em coordenadas polares define-se um ponto pelo par \;(\rho,\theta)\; onde:
\;\rho\ge0\; é a distância do ponto à origem (o comprimento do vetor posição),
\;\theta\in[0,2\pi)\; é o ângulo que o vetor posição faz com o eixo x.
A transformação para as coordenadas cartesianas é dada porx=\rho\cos\theta,\qquad y=\rho\sin\theta.
Agora, elemento de área: um pequeno retângulo em coordenadas cartesianas vira, em polares, um pequeno “setor” cuja área aproximada é \rho\,\mathrm{d}\rho\,\mathrm{d}\theta. Essa quantidade \rho é chamada de jacobiano da transformação; em termos simples, ela mede quanto o elemento de área “cresce” quando passamos de cartesianas para polares. Portanto o elemento de área em polares é\mathrm{d}A=\rho\,\mathrm{d}\rho\,\mathrm{d}\theta.
Passo 3
Identificar os limites de integração (descrever o domínio em polares):
O disco de raio \;r\; corresponde a todos os pontos com \;0\le\rho\le r\; e \;0\le\theta\le2\pi\;.
Assim a área A pode ser expressa pela integral dupla em coordenadas polares:A=\iint_{\text{disco}} \mathrm{d}A=\int_{\theta=0}^{2\pi}\int_{\rho=0}^{r} \rho\,\mathrm{d}\rho\,\mathrm{d}\theta.
Passo 4
Calcular a integral passo a passo:
Primeiro integramos em \rho:\int_{0}^{r}\rho\,\mathrm{d}\rho=\left.\frac{1}{2}\rho^{2}\right|_{0}^{r}=\frac{1}{2}r^{2}.(Aqui usei a primitiva de \rho, que é \frac{1}{2}\rho^{2}.)
Agora integramos em \theta:A=\int_{0}^{2\pi}\left(\frac{1}{2}r^{2}\right)\mathrm{d}\theta=\frac{1}{2}r^{2}\cdot\left.\theta\right|_{0}^{2\pi}=\frac{1}{2}r^{2}\cdot 2\pi=\pi r^{2}.
Passo 5
Método alternativo (opcional, mas didático): integrar em cartesianas usando a equação do semicírculo
Pelo mesmo resultado, a área também pode ser escrita comoA=2\int_{-r}^{r}\sqrt{r^{2}-x^{2}}\;\mathrm{d}x,porque para cada x entre -r e r a coordenada y superior do círculo é y=\sqrt{r^{2}-x^{2}} e há simetria vertical (por isso o fator 2).
Fazendo a substituição trigonométrica x=r\sin\theta (então \mathrm{d}x=r\cos\theta\,\mathrm{d}\theta, e quando x vai de -r a r, \theta vai de -\tfrac{\pi}{2} a \tfrac{\pi}{2}), temos:A=2\int_{-\pi/2}^{\pi/2} r\cos\theta\cdot r\cos\theta\;\mathrm{d}\theta=2r^{2}\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\cos^{2}\theta\;\mathrm{d}\theta.
Usando a identidade \cos^{2}\theta=\dfrac{1+\cos 2\theta}{2} obtemosA=2r^{2}\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\frac{1+\cos 2\theta}{2}\;\mathrm{d}\theta=r^{2}\left[\theta+\tfrac{1}{2}\sin 2\theta\right]_{-\pi/2}^{\pi/2}.
Avaliando os limites, o termo \sin 2\theta zera em ambos os limites e sobraA=r^{2}\bigl(\tfrac{\pi}{2}-(-\tfrac{\pi}{2})\bigr)=r^{2}\pi,ou seja, \;A=\pi r^{2}\; como antes.
Passo 6
Comentário final e incentivo (curto, empático):
Pronto — chegamos ao resultado clássico \;A=\pi r^{2}\;. Sei que parece muito conhecido, mas é importante entender por que a conta funciona (o jacobiano \rho em polares e a simetria do círculo são as chaves). Você já tem duas formas de lembrar/derivar isso na prova: pela integral em polares (mais direta) ou pela integral do semicírculo em cartesianas (bom exercício de substituição trigonométrica). Força aí — isso é conteúdo que cai demais e agora você tem o passo a passo bem mastigado!