Calcular as integrais definidas.
\int_{-2}^{4}\left(\frac{x}{2}+3\right) d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral definida
\int_{-2}^{4}\Bigl(\frac{x}{2}+3\Bigr)\,dx.
O conteúdo envolvido é o Teorema Fundamental do Cálculo: basta achar uma antiderivada F(x) de f(x)=\tfrac{x}{2}+3 e depois usar
\int_{a}^{b}f(x)\,dx = F(b)-F(a).

Passo 2

Vamos integrar termo a termo: \displaystyle \int \frac{x}{2}\,dx = \frac{1}{2}\,\frac{x^2}{2} = \frac{x^2}{4}
e \displaystyle \int 3\,dx = 3x.
Logo, uma antiderivada é
F(x) = \frac{x^2}{4} + 3x.

Passo 3

Agora avaliamos F nos extremos:
F(4) = \frac{4^2}{4} + 3\cdot4 = \frac{16}{4} + 12 = 4 + 12 = 16,
F(-2) = \frac{(-2)^2}{4} + 3\cdot(-2) = \frac{4}{4} - 6 = 1 - 6 = -5.

Passo 4

Pelo Teorema Fundamental do Cálculo,
\int_{-2}^{4}\Bigl(\frac{x}{2}+3\Bigr)\,dx = F(4) - F(-2) = 16 - (-5) = 21.

Resposta

21

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