Resolva as seguintes integrais usando a técnica de integração por partes.
\int 2 x \operatorname{sen}^{-1}\left(x^{2}\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int 2x\,\operatorname{sen}^{-1}\bigl(x^{2}\bigr)\,dx
usando a técnica de integração por partes. Vamos precisar da fórmula
\int u\,dv = u\,v - \int v\,du
e da derivada de \operatorname{sen}^{-1}(t), que é
\frac{d}{dt}\operatorname{sen}^{-1}(t)=\frac{1}{\sqrt{1-t^{2}}}.

Passo 2

Escolhemos as partes de forma a simplificar a integral:
u = \operatorname{sen}^{-1}\bigl(x^{2}\bigr), \quad dv = 2x\,dx.

Passo 3

Calculamos du e v. Primeiro,
du = \frac{d}{dx}\operatorname{sen}^{-1}\bigl(x^{2}\bigr)\,dx = \frac{1}{\sqrt{1-(x^{2})^{2}}}\cdot 2x\,dx = \frac{2x}{\sqrt{1-x^{4}}}\,dx.
Em seguida,
v = \int 2x\,dx = x^{2}.

Passo 4

Aplicando a fórmula de integração por partes:
\int 2x\,\operatorname{sen}^{-1}\bigl(x^{2}\bigr)\,dx = u\,v \;-\;\int v\,du = x^{2}\,\operatorname{sen}^{-1}\bigl(x^{2}\bigr) -\int x^{2}\cdot\frac{2x}{\sqrt{1-x^{4}}}\,dx.
Isso dá
\int 2x\,\operatorname{sen}^{-1}\bigl(x^{2}\bigr)\,dx = x^{2}\,\operatorname{sen}^{-1}\bigl(x^{2}\bigr) -\int \frac{2x^{3}}{\sqrt{1-x^{4}}}\,dx.

Passo 5

Para calcular \displaystyle\int \frac{2x^{3}}{\sqrt{1-x^{4}}}\,dx,
fazemos a substituição
t = 1 - x^{4} \quad\Longrightarrow\quad dt = -4x^{3}\,dx \quad\Longrightarrow\quad x^{3}\,dx = -\frac{dt}{4}.
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\int \frac{2x^{3}}{\sqrt{1-x^{4}}}\,dx = 2\int \frac{x^{3}\,dx}{\sqrt{t}} = 2\int \frac{-dt/4}{\sqrt{t}} = -\tfrac{1}{2}\int t^{-1/2}\,dt = -\tfrac{1}{2}\cdot 2\,t^{1/2} = -\sqrt{t}.
Voltando a x,
\int \frac{2x^{3}}{\sqrt{1-x^{4}}}\,dx = -\sqrt{\,1-x^{4}\,}.

Passo 6

Substituindo de volta na parte por partes, obtemos
\int 2x\,\operatorname{sen}^{-1}\bigl(x^{2}\bigr)\,dx = x^{2}\,\operatorname{sen}^{-1}\bigl(x^{2}\bigr) - \bigl(-\sqrt{1-x^{4}}\bigr) + C = x^{2}\,\operatorname{sen}^{-1}\bigl(x^{2}\bigr) + \sqrt{1-x^{4}} + C.

Resposta

x^{2}\,\operatorname{sen}^{-1}\bigl(x^{2}\bigr) + \sqrt{1-x^{4}} + C.

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