Resolva as seguintes integrais usando a técnica de integração por partes.
\int\left(x^{2}-5 x\right) e^{x} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int \bigl(x^{2} - 5x\bigr)e^{x}\,dx
usando integração por partes. O conteúdo aqui é saber escolher uma função u cuja derivada simplifique o integrando e deixar o restante como dv.

Passo 2

Escolhemos
u = x^{2} - 5x, \quad dv = e^{x}\,dx.
Então
du = (2x - 5)\,dx, \quad v = \int e^{x}\,dx = e^{x}.
Pela fórmula de integração por partes,
\int u\,dv = uv - \int v\,du,
temos
\int \bigl(x^{2} - 5x\bigr)e^{x}\,dx = (x^{2} - 5x)e^{x} - \int (2x - 5)e^{x}\,dx.

Passo 3

Agora calculamos \displaystyle \int (2x - 5)e^{x}\,dx por partes de novo. Definimos
u_{1} = 2x - 5, \quad dv_{1} = e^{x}\,dx,
de modo que
du_{1} = 2\,dx, \quad v_{1} = e^{x}.
Aplicando integração por partes,
\int (2x - 5)e^{x}\,dx = (2x - 5)e^{x} - \int 2e^{x}\,dx = (2x - 5)e^{x} - 2e^{x}.

Passo 4

Substituindo de volta,
\int \bigl(x^{2} - 5x\bigr)e^{x}\,dx = (x^{2} - 5x)e^{x} - \bigl[(2x - 5)e^{x} - 2e^{x}\bigr] + C.
Agrupando termos em e^{x}:
= e^{x}\bigl(x^{2} - 5x - 2x + 5 + 2\bigr) + C = e^{x}\bigl(x^{2} - 7x + 7\bigr) + C.

Resposta

\int \bigl(x^{2} - 5x\bigr)e^{x}\,dx = e^{x}\bigl(x^{2} - 7x + 7\bigr) + C.

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