Calcular as integrais definidas
integral-1^1 raiz1-x3+x d x

Passo 1

Resumimos o enunciado: calcular
integral-1^1 raiz1-x3+x,dx
O conteúdo principal será usar uma substituição que torne a raiz num quociente simples.

Passo 2

Definimos
t = raiz1 - x3 + x
Elevando ao quadrado,
t^2 = 1 - x3 + x Longrightarrow x = 1 - 3t^21 + t^2
Derivando em relação a t,
dx = -8t(1 + t^2)^2,dt

Passo 3

Quando x=-1 temos t=1, e quando x=1 temos t=0. Substituindo na integral original,
integral-1^1 raiz1 - x3 + x,dx = integral1^0 t;l(-8t(1+t^2)^2r),dt = 8integral0^1t^2(1+t^2)^2,dt

Passo 4

Chamando
J = integral0^1t^2(1+t^2)^2,dt,
note a identidade
t^2(1+t^2)^2 = 1+t^2-1(1+t^2)^2 = 11+t^2 ; - ; 1(1+t^2)^2

Passo 5

Calculamos separadamente:
integral0^111+t^2,dt = l[arctan tr]0^1 = pi4,
integral0^11(1+t^2)^2,dt = l[t2(1+t^2) + 12arctan tr]0^1 = 14 + pi8
Logo
J = pi4 - l(14 + pi8r) = pi8 - 14

Passo 6

Voltando à integral original:
integral-1^1 raiz1 - x3 + x,dx = 8J = 8l(pi8 - 14r) = pi - 2

Resposta

pi - 2

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