Calcular as integrais definidas
integral0^1 raiz1-xraiz2-x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
I = integral0^1 raiz1-xraiz2-x,dx
O conteúdo principal é integração de funções com raízes quadradas. Vamos usar uma substituição inteligente para transformar essa integral numa forma mais simples, e depois aplicar fórmulas conhecidas para integrais do tipo integralraiz1+u^2,du e integral(1+u^2)^-1/2,du.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = raiz1-x,
então x = 1 - u^2 e dx = -2u,du. Quando x=0 temos u=1 e quando x=1 temos u=0. Observe também que
raiz2-x = raiz2 - (1 - u^2) = raiz1 + u^2
Substituindo em I:
I = integralx=0^x=1 raiz1-xraiz2-x,dx = integralu=1^u=0 uraiz1+u^2l(-2u,dur) = integral1^0 -2u^2raiz1+u^2,du = integral0^1 2u^2raiz1+u^2,du

Passo 3

No integrando temos u^2. Escrevemos
u^2 = (1+u^2) - 1
para separar a integral:
I = 2integral0^1 u^2raiz1+u^2,du = 2integral0^1 l(raiz1+u^2 - 1raiz1+u^2r),du

Passo 4

Calcular
integral0^1 raiz1+u^2,du
Usamos a fórmula
integral raiza^2+u^2,du = uraiza^2+u^22 + a^22lnl(u + raiza^2+u^2r) com a=1
Assim,
integral0^1 raiz1+u^2,du = [uraiz1+u^22 + 12lnl(u + raiz1+u^2r)]0^1 = raiz22 + 12lnl(1+raiz2r)

Passo 5

Calcular
integral0^1 1raiz1+u^2,du = l[arcsinh(u)r]0^1 = lnl(1 + raiz2r)

Passo 6

Juntando os resultados em
I = 2l(integral0^1raiz1+u^2,du - integral0^11raiz1+u^2,dur)
temos
I = 2l(raiz22 + 12ln(1+raiz2) - ln(1+raiz2)r) = raiz2 - lnl(1+raiz2r)

Resposta

boxed,raiz2 - lnl(1+raiz2r),

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