Calcular as integrais definidas
integral0^1 e^arcsen(x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
integral0^1 e^arcsin(x) ,dx
O conteúdo principal envolve a substituição trigonométrica para tratar arcsin(x) e em seguida uma integração por partes para resolver a integral resultante.

Passo 2

Fazemos a substituição
x = sin t,
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t = arcsin(x), dx = cos t,dt
Quando x=0 temos t=0 e quando x=1 temos t=pi/2.

Passo 3

Substituindo na integral original obtemos
integral0^1 e^arcsin(x),dx = integral0^pi/2 e^t,cos t,dt

Passo 4

Agora calculamos a integral
I = integral e^tcos t,dt
usando integração por partes duas vezes. O resultado conhecido é
I = e^t2l(sin t + cos tr) + C

Passo 5

Aplicando os limites de 0 a pi/2 em
e^t2l(sin t + cos tr),
temos em t=pi/2 o valor tfrace^pi/22(1+0)=tfrace^pi/22 e em t=0 o valor tfrac12(0+1)=tfrac12. Assim
integral0^pi/2 e^tcos t,dt = e^pi/22 - 12 = e^pi/2-12

Resposta

e^pi/2-12

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