Calcular as integrais definidas.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a integral definida de
de
até
. Isso pertence à matéria de Cálculo Integral, e a gente vai precisar usar umas regras de integração envolvendo funções trigonométricas.
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada na função que estamos integrando:
. A gente sabe que
é
e
é
. Mas tem um truque aqui: sabemos que a derivada de
é exatamente
. Isso é muito útil para resolver a integral.
Passo 3
Com essa informação, podemos usar uma técnica básica de integração: se a derivada de uma função é igual à nossa função dentro da integral, então a integral é simplesmente essa função mais uma constante. Então, a integral de
em relação a
é
.
Passo 4
Agora, vamos aplicar isso à nossa integral original:
Isso significa que a gente vai calcular
nos limites de integração e depois multiplicar por 4.
Passo 5
Vamos calcular
e
:
Agora, substituímos esses valores na expressão:
Resposta
A integral definida é igual a
.