Calcular as integrais definidas.
integral0^pi / 3 4 sec u tg u d u

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a integral definida de 4 sec u tan u de 0 até pi3. Isso pertence à matéria de Cálculo Integral, e a gente vai precisar usar umas regras de integração envolvendo funções trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada na função que estamos integrando: 4 sec u tan u. A gente sabe que sec u é 1/cos u e tan u é sin u/cos u. Mas tem um truque aqui: sabemos que a derivada de sec u é exatamente sec u tan u. Isso é muito útil para resolver a integral.

Passo 3

Com essa informação, podemos usar uma técnica básica de integração: se a derivada de uma função é igual à nossa função dentro da integral, então a integral é simplesmente essa função mais uma constante. Então, a integral de sec u tan u em relação a u é sec u.

Passo 4

Agora, vamos aplicar isso à nossa integral original:
integral0^pi3 4 sec u tan u , du = 4 [ sec u ]0^pi3
Isso significa que a gente vai calcular sec u nos limites de integração e depois multiplicar por 4.

Passo 5

Vamos calcular sec (pi3) e sec(0):
sec(pi3) = 1cos(pi3) = 10.5 = 2
sec(0) = 1cos(0) = 11 = 1
Agora, substituímos esses valores na expressão:
4 [ 2 - 1 ] = 4 times 1 = 4

Resposta

A integral definida é igual a 4.

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