Calcular as integrais definidas.
integralpi / 4^3 pi / 4 sen x cos x d x

Passo 1

Beleza, vamos calcular a integral definida integralpi / 4^3 pi / 4 sin x cos x , dx. Isso faz parte do conteúdo de cálculo integral, especificamente integração de funções trigonométricas. Para resolver, vamos usar uma técnica chamada substituição e algumas identidades trigonométricas básicas.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão sin x cos x. Lembra da identidade trigonométrica que diz que sin(2x) = 2 sin x cos x? Podemos usar isso para facilitar a integração.
Então, temos:
sin x cos x = 12 sin(2x)

Passo 3

Agora, substituímos sin x cos x na integral original:
integralpi / 4^3 pi / 4 sin x cos x , dx = integralpi / 4^3 pi / 4 12 sin(2x) , dx

Passo 4

Podemos tirar o 12 para fora da integral:
12 integralpi / 4^3 pi / 4 sin(2x) , dx

Passo 5

Agora, vamos integrar sin(2x). A integral de sin(kx) é -1k cos(kx) + C, onde k é uma constante. Aqui, k = 2, então:
integral sin(2x) , dx = -12 cos(2x) + C

Passo 6

Aplicando isso na nossa integral:
12 [ -12 cos(2x) ]pi / 4^3 pi / 4 = -14 [ cos(2x) ]pi / 4^3 pi / 4

Passo 7

Agora, vamos calcular cos(2x) nos limites de integração:
Para x = 3pi/4:
cos(2 cdot 3pi4) = cos(3pi2) = 0
Para x = pi/4:
cos(2 cdot pi4) = cos(pi2) = 0

Passo 8

Substituindo esses valores na expressão:
-14 [0 - 0] = -14 cdot 0 = 0

Resposta

O valor da integral definida integralpi / 4^3 pi / 4 sin x cos x , dx é 0.

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