Calcular as integrais definidas
integral1 / 2^1 ln (4 x^2+1) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
I = integral1/2^1 lnl(4x^2+1r),dx
Aqui vamos usar o método de integração por partes e uma decomposição algébrica para reduzir a integral a termos que conhecemos: uma função logarítmica, um termo polinomial e uma função arco-tangente.

Passo 2

Aplicando integração por partes, tomamos
u = lnl(4x^2+1r), dv = dx,
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du = 8x4x^2+1,dx, v = x
Pela fórmula
integral u,dv = uv - integral v,du,
temos
integral lnl(4x^2+1r),dx = x,lnl(4x^2+1r) - integral xcdot8x4x^2+1,dx = x,lnl(4x^2+1r) - 8integral x^24x^2+1,dx

Passo 3

Para calcular
integral x^24x^2+1,dx, faça a divisão algébrica:
x^24x^2+1 = 14,4x^24x^2+1 = 14l(1 - 14x^2+1r)
Assim
integral x^24x^2+1,dx = 14integral dx - 14integral dx4x^2+1 = x4 - 14cdot12arctan(2x) = x4 - 18arctan(2x)

Passo 4

Substituindo no resultado da parte anterior,
8integral x^24x^2+1,dx = 8l(x4 - 18arctan(2x)r) = 2x - arctan(2x)
Portanto uma primitiva de ln(4x^2+1) é
F(x) = x,lnl(4x^2+1r) - l(2x - arctan(2x)r) = x,lnl(4x^2+1r) - 2x + arctan(2x)

Passo 5

Agora avaliamos-la de x=1/2 até x=1:
I = F(1) - Fl(tfrac12r)
Calculemos cada termo:
Para x=1:
F(1) = 1cdotln(5) - 2cdot1 + arctan(2) = ln(5) - 2 + arctan(2)
Para x=tfrac12:
Fl(tfrac12r) = tfrac12lnl(4cdottfrac14+1r) - 2cdottfrac12 + arctanl(2cdottfrac12r) = tfrac12ln(2) - 1 + arctan(1) = tfrac12ln(2) - 1 + pi4

Passo 6

Subtraindo,
I = l[ln(5)-2 + arctan(2)r] - l[tfrac12ln(2)-1 + tfracpi4r] = ln(5) - tfrac12ln(2) -1 + arctan(2) - pi4
E observamos que
ln(5) - tfrac12ln(2) = ln!l(5/raiz2r)

Resposta

integral1/2^1lnl(4x^2+1r),dx = ln!l(5raiz2r) -1 + arctan(2) - pi4

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