Calcular as integrais indefinidas.
int \frac{d x}{x^{3}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \frac{dx}{x^{3}}.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A função integranda é \dfrac{1}{x^{3}}.
  • Implicitamente devemos considerar x\neq 0 (pois há divisão por x).
  • Queremos uma antiderivada geral, ou seja, a integral indefinida com constante de integração C.

Passo 2

Reescrevo a integranda usando potências, isso facilita aplicar a regra padrão:
\frac{1}{x^{3}} = x^{-3},
logo a integral fica
\int \frac{dx}{x^{3}} = \int x^{-3}\,dx.

Passo 3

Vou usar a regra de potência para integrais. A regra diz:
\text{Se } n\neq -1,\quad \int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C.
Explicando essa regra rapidinho: ao derivar \dfrac{x^{n+1}}{n+1} usando a regra do poder das derivadas, obtemos
\frac{d}{dx}\!\left(\frac{x^{n+1}}{n+1}\right) = \frac{n+1}{n+1}x^{n} = x^{n},
portanto \dfrac{x^{n+1}}{n+1} é de fato uma antiderivada de x^{n}. O requisito n\neq -1 evita divisão por zero.

Passo 4

No nosso caso temos n = -3. Aplicando a regra:
\int x^{-3}\,dx = \frac{x^{-3+1}}{-3+1} + C = \frac{x^{-2}}{-2} + C.

Passo 5

Simplifico a expressão para uma forma mais comum:
\frac{x^{-2}}{-2} + C = -\frac{1}{2}x^{-2} + C = -\frac{1}{2x^{2}} + C.

Passo 6

Verificação rápida (útil na prova): derivando a resposta obtemos
\frac{d}{dx}\!\left(-\frac{1}{2}x^{-2}\right) = -\frac{1}{2}\cdot(-2)x^{-3} = x^{-3} = \frac{1}{x^{3}},
portanto a antiderivada está correta. Lembre-se de incluir C e que x\neq 0.

Resposta

-\dfrac{1}{2x^{2}} + C

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