\iiint_{B} \sqrt{x} e^{x} d V, onde B=\{(x, y, z) \mid 0 \leqslant x \leqslant 1,0 \leqslant y \leqslant 1,0 \leqslant z \leqslant 1\}

Passo 1

O enunciado pede o valor do integral triplo
\iiint_{B} \sqrt{x}\, e^{x}\, dV
onde o conjunto B é o cubo
B=\{(x,y,z)\mid 0\leqslant x\leqslant 1,\;0\leqslant y\leqslant 1,\;0\leqslant z\leqslant 1\}.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
\text{(i)}\quad \text{o domínio é o cubo unitário em }x,y,z;íéá
\text{(ii)}\quad \text{a função integrando é } \sqrt{x}\,e^{x}, \text{ que depende apenas de }x.çãé
O que se pede: calcular o valor numérico (ou expressão fechada) do integral triplo acima.

Passo 2

Como a função integrando \sqrt{x}\,e^{x} depende somente de x, as integrais nas direções y e z separam e são fáceis de calcular. Em integrais múltiplas, quando a função é produto de funções de variáveis distintas ou depende só de uma variável, podemos fatorar as integrais. Assim
\iiint_{B} \sqrt{x}\,e^{x}\,dV = \int_{0}^{1}\int_{0}^{1}\int_{0}^{1} \sqrt{x}\,e^{x}\,dz\,dy\,dx.
Como não há y nem z no integrando, as integrais em y e z são simplesmente o comprimento do intervalo [0,1], cada uma igual a 1. Portanto
\iiint_{B} \sqrt{x}\,e^{x}\,dV = \left(\int_{0}^{1} \sqrt{x}\,e^{x}\,dx\right) \left(\int_{0}^{1} dy\right) \left(\int_{0}^{1} dz\right) = \int_{0}^{1} \sqrt{x}\,e^{x}\,dx.
Ou seja, a integral tripla reduz-se à integral unidimensional \displaystyle \int_{0}^{1} x^{1/2} e^{x}\,dx.

Passo 3

Vamos calcular
I=\int_{0}^{1} x^{1/2} e^{x}\,dx.
Primeiro vou fazer uma substituição útil para tirar a raiz: seja
x=t^{2}.
Explico: essa substituição transforma \sqrt{x} em t (mais simples) e nos dá uma relação direta entre dx e dt. Calculemos o jacobiano:
dx = 2t\,dt.
Os limites mudam: quando x=0 temos t=0; quando x=1 temos t=1. Substituindo na integral:
I=\int_{0}^{1} (t)\, e^{t^{2}} \cdot 2t\,dt = \int_{0}^{1} 2t^{2} e^{t^{2}}\,dt.
Ficou uma integral em t que usaremos a seguir.

Passo 4

Agora calculamos \displaystyle \int_{0}^{1} 2t^{2} e^{t^{2}}\,dt. Note que 2t e^{t^{2}} é a derivada de e^{t^{2}}, então é natural tentar integração por partes escrevendo 2t^{2} e^{t^{2}} = t\cdot(2t e^{t^{2}}). Use integração por partes com
u=t,\qquad dv=2t e^{t^{2}}\,dt.
Então
du=dt,\qquad v=e^{t^{2}}.
A fórmula de integração por partes é \int u\,dv = u v - \int v\,du. Aplicando:
\int_{0}^{1} 2t^{2} e^{t^{2}}\,dt = \Big[ t e^{t^{2}}\Big]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} e^{t^{2}}\,dt.
Compute o termo de contorno:
\Big[ t e^{t^{2}}\Big]_{0}^{1} = 1\cdot e^{1} - 0\cdot e^{0} = e.
Portanto
I = e - \int_{0}^{1} e^{t^{2}}\,dt.

Passo 5

A integral \displaystyle \int_{0}^{1} e^{t^{2}}\,dt não possui antiderivada elementar (não pode ser expressa por polinômios, exponenciais, logaritmos, senos/cossenos simples etc.). Para representá-la de forma padrão usa-se a função erro imaginária \operatorname{erfi}, definida por
\operatorname{erfi}(x)=\frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_{0}^{x} e^{t^{2}}\,dt.
Dessa definição segue que
\int_{0}^{1} e^{t^{2}}\,dt = \frac{\sqrt{\pi}}{2}\,\operatorname{erfi}(1).
Substituindo em I,
I = e - \frac{\sqrt{\pi}}{2}\,\operatorname{erfi}(1).
Esta é uma expressão fechada usando uma função especial padrão (erfi). Se preferir, a mesma integral pode ser escrita como série convergente (expandindo e^{x} e integrando termo a termo), mas a forma com \operatorname{erfi} é mais compacta.

Passo 6

Vamos obter uma aproximação numérica para quem quiser valor decimal na prova ou cálculo numérico rápido. Usando valores conhecidos:
\sqrt{\pi}\approx 1,772453851,\qquad \operatorname{erfi}(1)\approx 1,650425759.
Logo
\frac{\sqrt{\pi}}{2}\,\operatorname{erfi}(1)\approx 0,8862269255\cdot 1,650425759\approx 1,462650,
e
I = e - \frac{\sqrt{\pi}}{2}\,\operatorname{erfi}(1)\approx 2,718281828 - 1,462650 \approx 1,255631.
Arredondando de forma razoável, obtemos I\approx 1,255631. Lembre-se: esse é o valor da integral unidimensional e também é o valor do integral triplo original (porque as integrais em y e z deram 1).

Resposta

\iiint_{B}\sqrt{x}\,e^{x}\,dV = e-\frac{\sqrt{\pi}}{2}\,\operatorname{erfi}(1)
\approx 1,255631

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