, onde
Passo 1
O enunciado pede o valor do integral triplo
onde o conjunto
é o cubo
Informações relevantes extraídas do enunciado:
O que se pede: calcular o valor numérico (ou expressão fechada) do integral triplo acima.
Passo 2
Como a função integrando
depende somente de
, as integrais nas direções
e
separam e são fáceis de calcular. Em integrais múltiplas, quando a função é produto de funções de variáveis distintas ou depende só de uma variável, podemos fatorar as integrais. Assim
Como não há
nem
no integrando, as integrais em
e
são simplesmente o comprimento do intervalo
, cada uma igual a
. Portanto
Ou seja, a integral tripla reduz-se à integral unidimensional
.
Passo 3
Vamos calcular
Primeiro vou fazer uma substituição útil para tirar a raiz: seja
Explico: essa substituição transforma
em
(mais simples) e nos dá uma relação direta entre
e
. Calculemos o jacobiano:
Os limites mudam: quando
temos
; quando
temos
. Substituindo na integral:
Ficou uma integral em
que usaremos a seguir.
Passo 4
Agora calculamos
. Note que
é a derivada de
, então é natural tentar integração por partes escrevendo
. Use integração por partes com
Então
A fórmula de integração por partes é
. Aplicando:
Compute o termo de contorno:
Portanto
Passo 5
A integral
não possui antiderivada elementar (não pode ser expressa por polinômios, exponenciais, logaritmos, senos/cossenos simples etc.). Para representá-la de forma padrão usa-se a função erro imaginária
, definida por
Dessa definição segue que
Substituindo em
,
Esta é uma expressão fechada usando uma função especial padrão (erfi). Se preferir, a mesma integral pode ser escrita como série convergente (expandindo
e integrando termo a termo), mas a forma com
é mais compacta.
Passo 6
Vamos obter uma aproximação numérica para quem quiser valor decimal na prova ou cálculo numérico rápido. Usando valores conhecidos:
Logo
e
Arredondando de forma razoável, obtemos
. Lembre-se: esse é o valor da integral unidimensional e também é o valor do integral triplo original (porque as integrais em
e
deram
).