A resposta ao impulso unitário de um sistema LIT é dada por:
h(t)=e^{-t} u(t)
Encontre a resposta do sistema (resposta de estado zero) y(t) se a entrada x(t) for: \sin (3 t) u(t)
Passo 1
O enunciado dá a resposta ao impulso do sistema e a entrada, e pede a saída (resposta de estado zero). Dados e pedidos:
A resposta ao impulso é h(t)=e^{-t}u(t).
A entrada é x(t)=\sin(3t)u(t).
O objetivo é encontrar a saída y(t) (resposta de estado zero) para todo t, isto é, expressar y(t) envolvendo a unidade de passo u(t).
Informações importantes que vou usar (apenas listadas aqui): sistema LIT (linear e invariante no tempo), sinais multiplicados por u(t) (logo são causais), e a relação entre entrada, impulso e saída para sistemas LIT através da convolução.
Passo 2
Vou lembrar a fórmula básica que liga entrada, impulso e saída num sistema LIT: a saída é a convolução entre h e x. Escrevo a forma conveniente da convolução:
Explico rápido: aqui \tau é a variável de integração (um tempo “de amostra”), h(t-\tau) é a resposta ao impulso deslocada e x(\tau) é a entrada avaliada naquele instante; a integral soma as contribuições de todos os instantes passados. Para sistemas causais com sinais multiplicados por u(t), a integral simplifica porque tanto h quanto x valem zero para tempos negativos.
Passo 3
Como h(t)=e^{-t}u(t) e x(t)=\sin(3t)u(t), ambos são nulos para t<0. Usando a fórmula da convolução e a causalidade, posso limitar a integração a \tau entre 0 e t (para t<0 a saída será zero). Assim:
y(t)=\int_{0}^{t} h(t-\tau)\,x(\tau)\,d\tau.
Substituindo h(t-\tau)=e^{-(t-\tau)}u(t-\tau) e x(\tau)=\sin(3\tau)u(\tau) e lembrando que u(t-\tau)=1 e u(\tau)=1 dentro dos limites 0\le\tau\le t, temos
Vou calcular a integral I(t)=\int_{0}^{t} e^{\tau}\sin(3\tau)\,d\tau. Depois multiplico por e^{-t}. Lembre: no final devemos multiplicar por u(t) para garantir que y(t)=0 para t<0.
Passo 5
Agora calculo a integral I(t). Primeiro encontro a primitiva indefinida F(\tau)=\int e^{\tau}\sin(3\tau)\,d\tau. Uso integração por partes duas vezes.
Defina I=\int e^{\tau}\sin(3\tau)\,d\tau.
Faça integração por partes com u=\sin(3\tau) e dv=e^{\tau}d\tau. Então du=3\cos(3\tau)d\tau e v=e^{\tau}. Assim:
I = e^{\tau}\sin(3\tau) - 3\int e^{\tau}\cos(3\tau)\,d\tau.
Chame J=\int e^{\tau}\cos(3\tau)\,d\tau. Então I = e^{\tau}\sin(3\tau) - 3J.
Calcule J por partes: escolha u=\cos(3\tau), dv=e^{\tau}d\tau. Assim du=-3\sin(3\tau)d\tau e v=e^{\tau}. Então