A resposta ao impulso unitário de um sistema LIT é dada por:
h(t)=e^{-t} u(t)
Encontre a resposta do sistema (resposta de estado zero) y(t) se a entrada x(t) for:
\sin (3 t) u(t)

Passo 1

O enunciado dá a resposta ao impulso do sistema e a entrada, e pede a saída (resposta de estado zero). Dados e pedidos:
  • A resposta ao impulso é h(t)=e^{-t}u(t).
  • A entrada é x(t)=\sin(3t)u(t).
  • O objetivo é encontrar a saída y(t) (resposta de estado zero) para todo t, isto é, expressar y(t) envolvendo a unidade de passo u(t).
Informações importantes que vou usar (apenas listadas aqui): sistema LIT (linear e invariante no tempo), sinais multiplicados por u(t) (logo são causais), e a relação entre entrada, impulso e saída para sistemas LIT através da convolução.

Passo 2

Vou lembrar a fórmula básica que liga entrada, impulso e saída num sistema LIT: a saída é a convolução entre h e x. Escrevo a forma conveniente da convolução:
y(t) = (h * x)(t) = \int_{-\infty}^{\infty} h(t-\tau)\,x(\tau)\,d\tau.
Explico rápido: aqui \tau é a variável de integração (um tempo “de amostra”), h(t-\tau) é a resposta ao impulso deslocada e x(\tau) é a entrada avaliada naquele instante; a integral soma as contribuições de todos os instantes passados. Para sistemas causais com sinais multiplicados por u(t), a integral simplifica porque tanto h quanto x valem zero para tempos negativos.

Passo 3

Como h(t)=e^{-t}u(t) e x(t)=\sin(3t)u(t), ambos são nulos para t<0. Usando a fórmula da convolução e a causalidade, posso limitar a integração a \tau entre 0 e t (para t<0 a saída será zero). Assim:
y(t)=\int_{0}^{t} h(t-\tau)\,x(\tau)\,d\tau.
Substituindo h(t-\tau)=e^{-(t-\tau)}u(t-\tau) e x(\tau)=\sin(3\tau)u(\tau) e lembrando que u(t-\tau)=1 e u(\tau)=1 dentro dos limites 0\le\tau\le t, temos
y(t)=\int_{0}^{t} e^{-(t-\tau)}\sin(3\tau)\,d\tau.

Passo 4

Faço uma fatoração para simplificar a integral: e^{-(t-\tau)}=e^{-t}e^{\tau}. Então
y(t)=e^{-t}\int_{0}^{t} e^{\tau}\sin(3\tau)\,d\tau.
Vou calcular a integral I(t)=\int_{0}^{t} e^{\tau}\sin(3\tau)\,d\tau. Depois multiplico por e^{-t}. Lembre: no final devemos multiplicar por u(t) para garantir que y(t)=0 para t<0.

Passo 5

Agora calculo a integral I(t). Primeiro encontro a primitiva indefinida F(\tau)=\int e^{\tau}\sin(3\tau)\,d\tau. Uso integração por partes duas vezes.
Defina I=\int e^{\tau}\sin(3\tau)\,d\tau.
  • Faça integração por partes com u=\sin(3\tau) e dv=e^{\tau}d\tau. Então du=3\cos(3\tau)d\tau e v=e^{\tau}. Assim:
I = e^{\tau}\sin(3\tau) - 3\int e^{\tau}\cos(3\tau)\,d\tau.
Chame J=\int e^{\tau}\cos(3\tau)\,d\tau. Então I = e^{\tau}\sin(3\tau) - 3J.
  • Calcule J por partes: escolha u=\cos(3\tau), dv=e^{\tau}d\tau. Assim du=-3\sin(3\tau)d\tau e v=e^{\tau}. Então
J = e^{\tau}\cos(3\tau) + 3\int e^{\tau}\sin(3\tau)\,d\tau = e^{\tau}\cos(3\tau) + 3I.
Substituindo J na expressão de I:
I = e^{\tau}\sin(3\tau) - 3\big(e^{\tau}\cos(3\tau) + 3I\big).
Distribuindo e reorganizando:
I = e^{\tau}\sin(3\tau) - 3e^{\tau}\cos(3\tau) -9I,
10I = e^{\tau}\big(\sin(3\tau) - 3\cos(3\tau)\big).
Portanto a primitiva é
\int e^{\tau}\sin(3\tau)\,d\tau = \frac{e^{\tau}\big(\sin(3\tau) - 3\cos(3\tau)\big)}{10} + C.

Passo 6

Agora avalio a integral definida I(t)=\int_{0}^{t} e^{\tau}\sin(3\tau)\,d\tau usando a primitiva:
I(t)=\left.\frac{e^{\tau}\big(\sin(3\tau) - 3\cos(3\tau)\big)}{10}\right|_{\tau=0}^{\tau=t}.
Calcule os termos:
  • Para \tau=t: \dfrac{e^{t}\big(\sin(3t)-3\cos(3t)\big)}{10}.
  • Para \tau=0: \dfrac{e^{0}\big(\sin 0 - 3\cos 0\big)}{10} = \dfrac{1\cdot(0 - 3\cdot 1)}{10} = -\dfrac{3}{10}.
Subtraindo,
I(t)=\frac{e^{t}\big(\sin(3t)-3\cos(3t)\big)}{10} - \left(-\frac{3}{10}\right) = \frac{e^{t}\big(\sin(3t)-3\cos(3t)\big) + 3}{10}.

Passo 7

Volto para y(t)=e^{-t}I(t). Substituindo I(t),
y(t)=e^{-t}\cdot\frac{e^{t}\big(\sin(3t)-3\cos(3t)\big) + 3}{10}.
Distribuindo e^{-t}:
y(t)=\frac{\sin(3t)-3\cos(3t)}{10} + \frac{3}{10}e^{-t}.
Finalmente, lembro que a saída é causal (zero para t<0), então multiplico por u(t):
y(t)=\left(\frac{\sin(3t)-3\cos(3t)}{10} + \frac{3}{10}e^{-t}\right)u(t).

Resposta

\displaystyle y(t)=\left(\frac{\sin(3t)-3\cos(3t)}{10}+\frac{3}{10}e^{-t}\right)u(t)

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