Calcular as integrais indefinidas.
\int x^{3} \sqrt{x} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\displaystyle \int x^{3}\sqrt{x}\,dx.
O conteúdo envolvido é a integração de potências, onde usamos a regra
\displaystyle \int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C.

Passo 2

Primeiro, escrevemos \sqrt{x} como x^{1/2} e somamos os expoentes:
x^{3}\sqrt{x} = x^{3}\cdot x^{1/2} = x^{3 + 1/2} = x^{7/2}.

Passo 3

Agora aplicamos a regra de potência com n = 7/2:
\int x^{7/2}\,dx = \frac{x^{(7/2)+1}}{(7/2)+1} + C.

Passo 4

Calculamos o expoente e o denominador:
(7/2) + 1 = 9/2,
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\int x^{7/2}\,dx = \frac{x^{9/2}}{9/2} + C = \frac{2}{9}\,x^{9/2} + C.

Resposta

\frac{2}{9}\,x^{9/2} + C

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