Calcular as integrais indefinidas.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida abaixo (ou seja, encontrar uma primitiva):
Informações dadas:
- A função a integrar é
. - Quer-se uma antiderivada dessa função, mais a constante de integração
.
Passo 2
Observar uma simplificação algébrica útil: note que
. Assim, elevando ao quadrado,
Essa observação reduz o trabalho porque agora integra-se um polinômio em
.
Passo 3
Expandir o quadrado
para obter um polinômio em potências de
. Fazer a expansão passo a passo:
Portanto a integral fica
Passo 4
Relembrar as regras básicas de integração que vamos usar:
- Linearidade:
, onde são constantes. - Regra da potência (para
): .
Aquié a variável de integração e é a constante de integração.
Passo 5
Aplicar a integração termo a termo ao polinômio
.
Integrar cada termo:
- Para
, pela regra da potência com :
- Para
, primeiro tirar a constante :
- Para
:
Somando os resultados e acrescentando a constante
:
Passo 6
Verificação rápida por diferenciação (checar se a primitiva encontrada gera a função original ao derivar):
Derivar
:
-
.
Isso coincide com, ou seja com . A primitiva está correta.