Calcular as integrais indefinidas.
\int(x-1)^{2}(x+1)^{2} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida abaixo (ou seja, encontrar uma primitiva):
\int (x-1)^{2}(x+1)^{2}\,dx.
Informações dadas:
  • A função a integrar é (x-1)^{2}(x+1)^{2}.
  • Quer-se uma antiderivada dessa função, mais a constante de integração C.

Passo 2

Observar uma simplificação algébrica útil: note que (x-1)(x+1)=x^{2}-1. Assim, elevando ao quadrado,
(x-1)^{2}(x+1)^{2}=\bigl((x-1)(x+1)\bigr)^{2}=(x^{2}-1)^{2}.
Essa observação reduz o trabalho porque agora integra-se um polinômio em x^{2}.

Passo 3

Expandir o quadrado (x^{2}-1)^{2} para obter um polinômio em potências de x. Fazer a expansão passo a passo:
(x^{2}-1)^{2}=x^{4}-2x^{2}+1.
Portanto a integral fica
\int (x-1)^{2}(x+1)^{2}\,dx = \int (x^{4}-2x^{2}+1)\,dx.

Passo 4

Relembrar as regras básicas de integração que vamos usar:
  • Linearidade: \displaystyle \int \bigl(a f(x)+b g(x)\bigr)\,dx = a\int f(x)\,dx + b\int g(x)\,dx, onde a,b são constantes.
  • Regra da potência (para n\neq -1): \displaystyle \int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}+C.
    Aqui x é a variável de integração e C é a constante de integração.

Passo 5

Aplicar a integração termo a termo ao polinômio x^{4}-2x^{2}+1.
Integrar cada termo:
  • Para \displaystyle \int x^{4}\,dx, pela regra da potência com n=4:
\int x^{4}\,dx = \frac{x^{5}}{5}.
  • Para \displaystyle \int (-2x^{2})\,dx, primeiro tirar a constante -2:
\int (-2x^{2})\,dx = -2\int x^{2}\,dx = -2\cdot\frac{x^{3}}{3} = -\frac{2x^{3}}{3}.
  • Para \displaystyle \int 1\,dx:
\int 1\,dx = x.
Somando os resultados e acrescentando a constante C:
\int (x-1)^{2}(x+1)^{2}\,dx = \frac{x^{5}}{5} - \frac{2x^{3}}{3} + x + C.

Passo 6

Verificação rápida por diferenciação (checar se a primitiva encontrada gera a função original ao derivar):
Derivar \displaystyle F(x)=\frac{x^{5}}{5}-\frac{2x^{3}}{3}+x:
  • F'(x)=\frac{5x^{4}}{5}-\frac{2\cdot 3x^{2}}{3}+1 = x^{4}-2x^{2}+1.
    Isso coincide com (x^{2}-1)^{2}, ou seja com (x-1)^{2}(x+1)^{2}. A primitiva está correta.

Resposta

\displaystyle \frac{x^{5}}{5}-\frac{2x^{3}}{3}+x+C

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