9- Um elétron é confinado em curral retangular cujas dimensões são
. (a) Quais são os estados de energias: fundamental, primeiro estado excitado e o segundo estado excitado, (b) indique todos os estados degenerados; (c) determine as transições em energia entre El,1 e
e
e
.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede coisas bem específicas:
- Um elétron confinado num curral retangular com
. - Perguntas:
(a) Quais são os estados de energia: fundamental, primeiro estado excitado e segundo estado excitado?
(b) Indicar todos os estados degenerados (no sentido espacial, desprezando spin).
(c) Determinar as transições em energia entree ; e entre e .
Dados numéricos relevantes (usados na resolução):
- Comprimento da caixa:
. - Massa do elétron:
. - Constante de Planck:
. - Conversão:
.
Passo 2
Vamos entender a fórmula de energia do elétron numa caixa 2D infinita (curral retangular). A solução da equação de Schrödinger para uma partícula livre dentro de um poço quadrado com fronteiras infinitas dá energias quantizadas:
onde:
-
são os números quânticos (inteiros positivos) nas direções e ; -
é a massa da partícula (aqui ); -
são as dimensões do retângulo; -
é a constante reduzida .
Uma forma equivalente, útil para cálculo, usa
:
Interpretação física curta e didática: a energia depende da soma
. Para
(caixa quadrada) a energia depende só de
(multiplicado por um mesmo fator), e permutar
e
dá a mesma energia — é aí que surge degenerescência espacial.
Passo 3
Preparação numérica: como
, vamos definir o fator comum
Com
calculamos
(em
) e também em
. Vou mostrar os passos numéricos para que você consiga reproduzir na prova sem calculadora: usar a ideia de escala ajuda — para uma caixa unidimensional de
o nível fundamental é aproximadamente
. Logo, para
(que é o dobro), a energia escala como
, então o fator fica dividido por
. Mas também vou calcular direto para ficar completo.
Passo 4
Cálculo explícito do fator
.
Inserindo valores:
Portanto
Convertendo para
:
Observação prática (atalho útil na prova): para
dá aproximadamente
. Assim
Passo 5
Agora calculamos as energias pedidas aplicando a fórmula. Primeiro identifique os candidatos com menores valores de
:
-
dá . - Os próximos valores possíveis (ordenando por soma de quadrados) são
(vindo de e ), depois (vindo de ), depois ( ), depois ( ), etc.
Calculemos numericamente (usar
em eV para ficar direto):
Para converter para joules, multiplica por
:
Passo 6
Identificação dos estados pedido em (a) e degenerescências em (b):
- Estado fundamental (menor energia) é
com . - Primeiro estado excitado é o próximo nível de energia: as combinações
e têm a mesma energia , portanto o primeiro nível excitado é degenerado e corresponde a . - Segundo estado excitado (o terceiro valor distinto de energia) corresponde a
com , .
Degenerescências (resumindo, resposta à parte (b)):
-
e são degenerados (mesma energia). -
não é degenerado (no sentido espacial). -
também não é degenerado espacialmente (apenas permutações idênticas, mas só uma permutação).
Passo 7
Agora calculamos as transições pedidas em (c). A energia da transição é simplesmente a diferença entre os níveis (absorção se sobe, emissão se desce). Calculemos:
Em joules:
Próxima transição:
Calculando
:
, então
Logo
Em joules:
Resposta
(a)
(b) Estados degenerados (espacialmente):
e
(degenerescência dupla).
e
não são degenerados espacialmente.
(c)