9- Um elétron é confinado em curral retangular cujas dimensões são \mathrm{L}_{x}=\mathrm{L}_{y}=2 \mathrm{~nm}. (a) Quais são os estados de energias: fundamental, primeiro estado excitado e o segundo estado excitado, (b) indique todos os estados degenerados; (c) determine as transições em energia entre El,1 e E_{2,1} ; e E_{2,1} e E_{2,3}.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede coisas bem específicas:
  • Um elétron confinado num curral retangular com \mathrm{L}_{x}=\mathrm{L}_{y}=2\\ \text{nm}.
  • Perguntas:
    (a) Quais são os estados de energia: fundamental, primeiro estado excitado e segundo estado excitado?
    (b) Indicar todos os estados degenerados (no sentido espacial, desprezando spin).
    (c) Determinar as transições em energia entre E_{1,1} e E_{2,1}; e entre E_{2,1} e E_{2,3}.
Dados numéricos relevantes (usados na resolução):
  • Comprimento da caixa: \mathrm{L}_x=\mathrm{L}_y=2\\ \text{nm}=2\times10^{-9}\\ \text{m}.
  • Massa do elétron: m_e=9{,}10938356\times10^{-31}\\ \text{kg}.
  • Constante de Planck: h=6{,}62607015\times10^{-34}\\ \text{J}\,\text{s}.
  • Conversão: 1\\ \text{eV}=1{,}602176634\times10^{-19}\\ \text{J}.

Passo 2

Vamos entender a fórmula de energia do elétron numa caixa 2D infinita (curral retangular). A solução da equação de Schrödinger para uma partícula livre dentro de um poço quadrado com fronteiras infinitas dá energias quantizadas:
E_{n_x,n_y}=\frac{\hbar^2\pi^2}{2m}\!\left(\frac{n_x^2}{L_x^2}+\frac{n_y^2}{L_y^2}\right),
onde:
  • n_x,n_y\in\{1,2,3,\dots\} são os números quânticos (inteiros positivos) nas direções x e y;
  • m é a massa da partícula (aqui m=m_e);
  • L_x,L_y são as dimensões do retângulo;
  • \hbar é a constante reduzida \hbar=\dfrac{h}{2\pi}.
Uma forma equivalente, útil para cálculo, usa h:
E_{n_x,n_y}=\frac{h^2}{8m}\!\left(\frac{n_x^2}{L_x^2}+\frac{n_y^2}{L_y^2}\right).
Interpretação física curta e didática: a energia depende da soma n_x^2/L_x^2+n_y^2/L_y^2. Para L_x=L_y (caixa quadrada) a energia depende só de n_x^2+n_y^2 (multiplicado por um mesmo fator), e permutar n_x e n_y dá a mesma energia — é aí que surge degenerescência espacial.

Passo 3

Preparação numérica: como L_x=L_y=L, vamos definir o fator comum
E_0=\frac{h^2}{8mL^2}.
Com L=2\times10^{-9}\\ \text{m} calculamos E_0 (em \text{J}) e também em \text{eV}. Vou mostrar os passos numéricos para que você consiga reproduzir na prova sem calculadora: usar a ideia de escala ajuda — para uma caixa unidimensional de 1\\ \text{nm} o nível fundamental é aproximadamente 0{,}376\\ \text{eV}. Logo, para L=2\\ \text{nm} (que é o dobro), a energia escala como 1/L^2, então o fator fica dividido por 4. Mas também vou calcular direto para ficar completo.

Passo 4

Cálculo explícito do fator E_0.
E_0=\frac{h^2}{8mL^2}.
Inserindo valores:
h^2=(6{,}62607015\times10^{-34})^2\\ \text{J}^2\!\cdot\!\text{s}^2 \approx 4{,}39048\times10^{-67}\\ \text{J}^2\!\cdot\!\text{s}^2,
8m=8\times9{,}10938356\times10^{-31}=7{,}28750685\times10^{-30}\\ \text{kg},
L^2=(2\times10^{-9})^2=4\times10^{-18}\\ \text{m}^2.
Portanto
E_0 \approx \frac{4{,}39048\times10^{-67}}{7{,}28750685\times10^{-30}\times4\times10^{-18}} = \frac{4{,}39048\times10^{-67}}{2{,}91500274\times10^{-47}} \approx 1{,}506\times10^{-20}\\ \text{J}.
Convertendo para \text{eV}:
E_0\\ (\text{eV})=\frac{1{,}506\times10^{-20}}{1{,}602176634\times10^{-19}}\approx0{,}09401\\ \text{eV}.
Observação prática (atalho útil na prova): para L=2\\ \text{nm} dá aproximadamente E_0\approx0{,}0940\\ \text{eV}. Assim
E_{n_x,n_y}\\ (\text{eV})\approx0{,}09401\,(n_x^2+n_y^2).

Passo 5

Agora calculamos as energias pedidas aplicando a fórmula. Primeiro identifique os candidatos com menores valores de n_x^2+n_y^2:
  • (n_x,n_y)=(1,1) n_x^2+n_y^2=1+1=2.
  • Os próximos valores possíveis (ordenando por soma de quadrados) são 5 (vindo de (1,2) e (2,1)), depois 8 (vindo de (2,2)), depois 10 ( (3,1),(1,3)), depois 13 ( (2,3),(3,2)), etc.
Calculemos numericamente (usar E_0 em eV para ficar direto):
E_{1,1}=E_0\cdot 2\approx0{,}09401\times2=0{,}18802\\ \text{eV}.
E_{2,1}=E_0\cdot 5\approx0{,}09401\times5=0{,}47005\\ \text{eV}.
E_{2,2}=E_0\cdot 8\approx0{,}09401\times8=0{,}75208\\ \text{eV}.
Para converter para joules, multiplica por 1{,}602176634\times10^{-19}\\ \text{J/eV}:
E_{1,1}\approx0{,}18802\times1{,}602176634\times10^{-19}\approx3{,}013\times10^{-20}\\ \text{J},
E_{2,1}\approx0{,}47005\times1{,}602176634\times10^{-19}\approx7{,}532\times10^{-20}\\ \text{J},
E_{2,2}\approx0{,}75208\times1{,}602176634\times10^{-19}\approx1{,}205\times10^{-19}\\ \text{J}.

Passo 6

Identificação dos estados pedido em (a) e degenerescências em (b):
  • Estado fundamental (menor energia) é (1,1) com E_{1,1}\approx0{,}18802\\ \text{eV}.
  • Primeiro estado excitado é o próximo nível de energia: as combinações (1,2) e (2,1) têm a mesma energia n_x^2+n_y^2=5, portanto o primeiro nível excitado é degenerado e corresponde a E_{1,2}=E_{2,1}\approx0{,}47005\\ \text{eV}.
  • Segundo estado excitado (o terceiro valor distinto de energia) corresponde a (2,2) com n_x^2+n_y^2=8, E_{2,2}\approx0{,}75208\\ \text{eV}.
Degenerescências (resumindo, resposta à parte (b)):
  • (1,2) e (2,1) são degenerados (mesma energia).
  • (1,1) não é degenerado (no sentido espacial).
  • (2,2) também não é degenerado espacialmente (apenas permutações idênticas, mas n_x=n_y só uma permutação).

Passo 7

Agora calculamos as transições pedidas em (c). A energia da transição é simplesmente a diferença entre os níveis (absorção se sobe, emissão se desce). Calculemos:
\Delta E_{(1,1)\to(2,1)}=E_{2,1}-E_{1,1}\approx0{,}47005-0{,}18802=0{,}28203\\ \text{eV}.
Em joules:
\Delta E_{(1,1)\to(2,1)}\approx0{,}28203\times1{,}602176634\times10^{-19}\approx4{,}519\times10^{-20}\\ \text{J}.
Próxima transição:
\Delta E_{(2,1)\to(2,3)}=E_{2,3}-E_{2,1}.
Calculando E_{2,3}: n_x^2+n_y^2=2^2+3^2=4+9=13, então
E_{2,3}=E_0\cdot13\approx0{,}09401\times13=1{,}22213\\ \text{eV}.
Logo
\Delta E_{(2,1)\to(2,3)}\approx1{,}22213-0{,}47005=0{,}75208\\ \text{eV}.
Em joules:
\Delta E_{(2,1)\to(2,3)}\approx0{,}75208\times1{,}602176634\times10^{-19}\approx1{,}205\times10^{-19}\\ \text{J}.

Resposta

(a) E_{1,1}\approx0{,}18802\\ \text{eV}=3{,}013\times10^{-20}\\ \text{J};\quad E_{2,1}=E_{1,2}\approx0{,}47005\\ \text{eV}=7{,}532\times10^{-20}\\ \text{J};\quad E_{2,2}\approx0{,}75208\\ \text{eV}=1{,}205\times10^{-19}\\ \text{J}.
(b) Estados degenerados (espacialmente): (1,2) e (2,1) (degenerescência dupla). (1,1) e (2,2) não são degenerados espacialmente.
(c) \Delta E_{1,1\to2,1}=E_{2,1}-E_{1,1}\approx0{,}28203\\ \text{eV}=4{,}519\times10^{-20}\\ \text{J};\quad \Delta E_{2,1\to2,3}=E_{2,3}-E_{2,1}\approx0{,}75208\\ \text{eV}=1{,}205\times10^{-19}\\ \text{J}.

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