- Quantos são os anagramas da palavra CAPsTULO que começam com C ou terminam com A ?
Passo 1
O enunciado pede: contar quantos anagramas da palavra CAPsTULO começam com C ou terminam com A.
Informações fornecidas:
Informações fornecidas:
- As letras da palavra são:
. - São
letras no total e todas aparecem uma única vez (não há repetições). - “Anagrama” aqui significa uma permutação de todas as
letras (ou seja, arranjar as letras em todas as ordens possíveis).
As duas perguntas específicas que vamos responder (combinadas pela condição “começam com C ou terminam com A”) são:
- Quantas permutações têm
na primeira posição? - Quantas permutações têm
na última posição? - E quantas permutações satisfazem pelo menos uma dessas condições (começam com
ou terminam com )?
Passo 2
Conceito útil: permutações de
objetos distintos.
Se temos objetos distintos e queremos arranjá-los todos em sequência, o número de arranjos é dado por
Se temos
onde
.
Exemplo simples para fixar a ideia: para as letras temos
anagramas:
.
Exemplo simples para fixar a ideia: para as letras
Passo 3
Contar permutações que começam com
.
Se a primeira posição está fixada como , restam
posições para serem preenchidas com as
letras restantes. O número de maneiras de preencher essas
posições é
Se a primeira posição está fixada como
Calculemos
:
Portanto, há
anagramas que começam com
.
Passo 4
Contar permutações que terminam com
.
Analogamente, se a última posição está fixada como , restam
posições para as outras
letras, dando também
Analogamente, se a última posição está fixada como
anagramas que terminam com
.
Passo 5
Contar permutações que começam com
E terminam com
(interseção).
Se fixamos primeira posição e última
, restam
posições para as
letras do meio. O número de arranjos é
Se fixamos primeira posição
Calculemos
:
Portanto,
anagramas começam com
e terminam com
.
Passo 6
Aplicar o princípio da inclusão-exclusão para contar permutações que começam com
OU terminam com
.
A fórmula (para dois conjuntos e
) é
A fórmula (para dois conjuntos
Aqui
= "começam com
" e
= "terminam com
". Substituindo os números que calculamos:
Façamos a conta:
Logo, existem
anagramas que começam com
ou terminam com
.
Passo 7
Cheque rápido de plausibilidade: o total de anagramas sem restrição é
:
e
, o que faz sentido. Também se evita dupla contagem graças à subtração de
.