• Quantos são os anagramas da palavra CAPsTULO que começam com C ou terminam com A ?

Passo 1

O enunciado pede: contar quantos anagramas da palavra CAPsTULO começam com C ou terminam com A.
Informações fornecidas:
  • As letras da palavra são: C,\;A,\;P,\;s,\;T,\;U,\;L,\;O.
  • São 8 letras no total e todas aparecem uma única vez (não há repetições).
  • “Anagrama” aqui significa uma permutação de todas as 8 letras (ou seja, arranjar as 8 letras em todas as ordens possíveis).
As duas perguntas específicas que vamos responder (combinadas pela condição “começam com C ou terminam com A”) são:
  • Quantas permutações têm C na primeira posição?
  • Quantas permutações têm A na última posição?
  • E quantas permutações satisfazem pelo menos uma dessas condições (começam com C ou terminam com A)?

Passo 2

Conceito útil: permutações de n objetos distintos.
Se temos n objetos distintos e queremos arranjá-los todos em sequência, o número de arranjos é dado por
n!
onde n! = n\cdot(n-1)\cdot\ldots\cdot 2\cdot 1.
Exemplo simples para fixar a ideia: para as letras A,B,C temos 3! = 6 anagramas: ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA.

Passo 3

Contar permutações que começam com C.
Se a primeira posição está fixada como C, restam 7 posições para serem preenchidas com as 7 letras restantes. O número de maneiras de preencher essas 7 posições é
7!.
Calculemos 7!:
7! = 7\cdot6\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1 = 5040.
Portanto, há 5040 anagramas que começam com C.

Passo 4

Contar permutações que terminam com A.
Analogamente, se a última posição está fixada como A, restam 7 posições para as outras 7 letras, dando também
7! = 5040
anagramas que terminam com A.

Passo 5

Contar permutações que começam com C E terminam com A (interseção).
Se fixamos primeira posição C e última A, restam 6 posições para as 6 letras do meio. O número de arranjos é
6!.
Calculemos 6!:
6! = 6\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1 = 720.
Portanto, 720 anagramas começam com C e terminam com A.

Passo 6

Aplicar o princípio da inclusão-exclusão para contar permutações que começam com C OU terminam com A.
A fórmula (para dois conjuntos X e Y) é
|X\cup Y| = |X| + |Y| - |X\cap Y|.
Aqui X = "começam com C" e Y = "terminam com A". Substituindo os números que calculamos:
|X\cup Y| = 7! + 7! - 6! = 5040 + 5040 - 720.
Façamos a conta:
5040 + 5040 = 10080,
10080 - 720 = 9360.
Logo, existem 9360 anagramas que começam com C ou terminam com A.

Passo 7

Cheque rápido de plausibilidade: o total de anagramas sem restrição é 8!:
8! = 8\cdot7! = 8\cdot5040 = 40320,
e 9360 < 40320, o que faz sentido. Também se evita dupla contagem graças à subtração de 6!.

Resposta

9360

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