Calcular as integrais:
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral indefinida
Informações relevantes fornecidas:
- A função integranda é
. - Para que
seja real, é preciso , isto é . A primitiva que vamos obter é válida (como função real explícita) nesse intervalo; como primitiva complexa ela pode ser estendida além, mas para a prova preocupar-se com o intervalo real costuma bastar. - O objetivo é encontrar uma função
tal que e apresentar a constante de integração .
Passo 2
Escolher um método: integração por partes. Vou explicar a fórmula e por que ela é útil aqui.
Fórmula de integração por partes (uma “versão” do produto derivado): para funções
e
diferenciáveis vale
Isto é útil quando a integral original envolve uma função difícil (aqui
) vezes uma função simples (aqui
, já que
é
com
). A ideia prática: escolher
para ser a parte que fica mais simples ao derivar e
para ser algo fácil de integrar.
Escolha natural:
Assim
será simples (
) e
obtém-se usando a derivada de
(explico em seguida).
Passo 3
Calcular
e
.
Regra de derivação da função composta (regra da cadeia): se
então
Aqui
, então
. Portanto
Assim
Passo 4
Aplicar a fórmula de integração por partes:
Denotando a integral restante por
,
Passo 5
Calcular
por substituição. Fazer a substituição simples
Então
Substituindo em
:
Simplificando constantes:
Integrando
:
Portanto
Voltando à variável
(lembre que
):
Passo 6
Substituir
na expressão obtida por partes:
Assim a primitiva é
onde
é a constante de integração. Lembrete: essa fórmula está escrita de forma explícita e real para
.
Passo 7
Verificação rápida (derivação da primitiva para checar): diferenciar
Derivando o primeiro termo pelo produto:
Derivando o segundo termo:
Somando as duas derivadas os termos com
cancelam e sobra
, confirmando que
.