Calcular as integrais:
\int \arcsin (5 x) \mathrm{d} x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral indefinida
\int \arcsin(5x)\,\mathrm{d}x.
Informações relevantes fornecidas:
  • A função integranda é \arcsin(5x).
  • Para que \arcsin(5x) seja real, é preciso 5x\in[-1,1], isto é x\in\left[-\dfrac{1}{5},\dfrac{1}{5}\right]. A primitiva que vamos obter é válida (como função real explícita) nesse intervalo; como primitiva complexa ela pode ser estendida além, mas para a prova preocupar-se com o intervalo real costuma bastar.
  • O objetivo é encontrar uma função F(x) tal que F'(x)=\arcsin(5x) e apresentar a constante de integração +C.

Passo 2

Escolher um método: integração por partes. Vou explicar a fórmula e por que ela é útil aqui.
Fórmula de integração por partes (uma “versão” do produto derivado): para funções u(x) e v(x) diferenciáveis vale
\int u\,\mathrm{d}v = u v - \int v\,\mathrm{d}u.
Isto é útil quando a integral original envolve uma função difícil (aqui \arcsin(5x)) vezes uma função simples (aqui 1, já que \mathrm{d}x é \mathrm{d}v com v=x). A ideia prática: escolher u para ser a parte que fica mais simples ao derivar e \mathrm{d}v para ser algo fácil de integrar.
Escolha natural:
u=\arcsin(5x),\qquad \mathrm{d}v=\mathrm{d}x.
Assim v será simples ( v=x) e \mathrm{d}u obtém-se usando a derivada de \arcsin (explico em seguida).

Passo 3

Calcular \mathrm{d}u e v.
Regra de derivação da função composta (regra da cadeia): se g(x)=\arcsin(h(x)) então
g'(x)=\frac{h'(x)}{\sqrt{1-h(x)^2}}.
Aqui h(x)=5x, então h'(x)=5. Portanto
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\big(\arcsin(5x)\big)=\frac{5}{\sqrt{1-(5x)^2}}=\frac{5}{\sqrt{1-25x^2}}.
Assim
\mathrm{d}u=\frac{5}{\sqrt{1-25x^2}}\,\mathrm{d}x, \qquad v=\int \mathrm{d}x = x.

Passo 4

Aplicar a fórmula de integração por partes:
\int \arcsin(5x)\,\mathrm{d}x = u v - \int v\,\mathrm{d}u = x\arcsin(5x) - \int x\cdot\frac{5}{\sqrt{1-25x^2}}\,\mathrm{d}x.
Denotando a integral restante por J,
J = \int x\cdot\frac{5}{\sqrt{1-25x^2}}\,\mathrm{d}x = 5\int \frac{x}{\sqrt{1-25x^2}}\,\mathrm{d}x.

Passo 5

Calcular J por substituição. Fazer a substituição simples
s=1-25x^2.
Então
\mathrm{d}s = -50x\,\mathrm{d}x \quad\Rightarrow\quad x\,\mathrm{d}x = -\frac{1}{50}\,\mathrm{d}s.
Substituindo em J:
J = 5\int \frac{x}{\sqrt{s}}\,\mathrm{d}x = 5\int \frac{1}{\sqrt{s}}\left(x\,\mathrm{d}x\right) = 5\int \frac{1}{\sqrt{s}}\left(-\frac{1}{50}\,\mathrm{d}s\right).
Simplificando constantes:
J = -\frac{5}{50}\int s^{-1/2}\,\mathrm{d}s = -\frac{1}{10}\int s^{-1/2}\,\mathrm{d}s.
Integrando s^{-1/2}:
\int s^{-1/2}\,\mathrm{d}s = 2 s^{1/2}.
Portanto
J = -\frac{1}{10}\cdot 2 s^{1/2} = -\frac{1}{5}\sqrt{s}.
Voltando à variável x (lembre que s=1-25x^2):
J = -\frac{1}{5}\sqrt{1-25x^2}.

Passo 6

Substituir J na expressão obtida por partes:
\int \arcsin(5x)\,\mathrm{d}x = x\arcsin(5x) - J = x\arcsin(5x) -\left(-\frac{1}{5}\sqrt{1-25x^2}\right).
Assim a primitiva é
\boxed{\;x\arcsin(5x) + \frac{1}{5}\sqrt{1-25x^2} + C\;}
onde C é a constante de integração. Lembrete: essa fórmula está escrita de forma explícita e real para x\in\left[-\dfrac{1}{5},\dfrac{1}{5}\right].

Passo 7

Verificação rápida (derivação da primitiva para checar): diferenciar
F(x)=x\arcsin(5x)+\frac{1}{5}\sqrt{1-25x^2}.
Derivando o primeiro termo pelo produto:
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\big(x\arcsin(5x)\big)=\arcsin(5x)+x\cdot\frac{5}{\sqrt{1-25x^2}}.
Derivando o segundo termo:
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\frac{1}{5}\sqrt{1-25x^2}\right) =\frac{1}{5}\cdot\frac{-50x}{2\sqrt{1-25x^2}} = -\frac{5x}{\sqrt{1-25x^2}}.
Somando as duas derivadas os termos com x/\sqrt{1-25x^2} cancelam e sobra \arcsin(5x), confirmando que F'(x)=\arcsin(5x).

Resposta

x\arcsin(5x)+\dfrac{1}{5}\sqrt{1-25x^2}+C

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