Calcular as integrais:
\int \boldsymbol{t} \boldsymbol{e}^{\mathbf{4} \boldsymbol{t}} \boldsymbol{d} \boldsymbol{t}

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral
\int t e^{4t}\, dt.
Informações dadas: a integranda é o produto do polinômio t por uma exponencial e^{4t}. O que se pede: uma primitiva (a integral indefinida), isto é, uma função F(t) tal que F'(t)=t e^{4t}, mais uma constante de integração C.

Passo 2

Qual método usar? Quando a integranda é produto de um polinômio (aqui t) por uma exponencial (aqui e^{4t}), o método mais direto é a integração por partes. Isso porque integração por partes reduz o grau do polinômio até ficar simples de integrar. Vou usar esse método.
Vou lembrar a fórmula de integração por partes. Se u e v são funções de t com derivada e primitiva apropriadas, vale:
\int u\, dv = u v - \int v\, du.
Explicando cada símbolo: u é uma função que escolhemos (normalmente algo que fica mais simples ao derivar), dv é o resto da integranda que integrarmos para obter v; du é a derivada de u em relação a t; e v é uma primitiva de dv.

Passo 3

Escolha das partes. Para \int t e^{4t}\, dt é natural tomar
u = t \qquad\text{e}\qquad dv = e^{4t}\, dt,
porque derivando u obtemos algo simples e integrando dv continuamos com uma exponencial (fácil de manipular).
Agora calculo du e v.

Passo 4

Calcular du e v.
Derivando u:
du = \frac{d}{dt}(t)\, dt = 1\cdot dt = dt.
Para obter v preciso integrar dv=e^{4t}\,dt. Faço uma substituição mental padrão: a primitiva de e^{a t} é \dfrac{1}{a}e^{a t}. Portanto
v = \int e^{4t}\, dt = \frac{1}{4} e^{4t}.
(Se quiser, verificar por diferenciação: \dfrac{d}{dt}\big(\tfrac{1}{4}e^{4t}\big)=\tfrac{1}{4}\cdot 4 e^{4t}=e^{4t}.)

Passo 5

Aplicar a fórmula de integração por partes:
\int t e^{4t}\, dt = u v - \int v\, du.
Substituindo u, v e du:
\int t e^{4t}\, dt = t\cdot\frac{1}{4}e^{4t} - \int \frac{1}{4}e^{4t}\, dt.
Fatorando constante:
\int t e^{4t}\, dt = \frac{1}{4} t e^{4t} - \frac{1}{4}\int e^{4t}\, dt.
Já sabemos a primitiva de e^{4t}, é \tfrac{1}{4}e^{4t}. Então:
\int t e^{4t}\, dt = \frac{1}{4} t e^{4t} - \frac{1}{4}\cdot\frac{1}{4} e^{4t} + C.
Simplificando:
\int t e^{4t}\, dt = \frac{1}{4} t e^{4t} - \frac{1}{16} e^{4t} + C.

Passo 6

Dar uma forma alternativa mais compacta (opcional, mas útil na prova): fatorando e^{4t},
\int t e^{4t}\, dt = \frac{e^{4t}}{16}\big(4t - 1\big) + C.
Ambas as formas são equivalentes; escolha a que achar mais bonita para memorizar.

Resposta

\dfrac{1}{4} t e^{4t} - \dfrac{1}{16} e^{4t} + C

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