Calcular as integrais:
\int \boldsymbol{t} \boldsymbol{e}^{\mathbf{4} \boldsymbol{t}} \boldsymbol{d} \boldsymbol{t}
\int \boldsymbol{t} \boldsymbol{e}^{\mathbf{4} \boldsymbol{t}} \boldsymbol{d} \boldsymbol{t}
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral
Informações dadas: a integranda é o produto do polinômio
por uma exponencial
. O que se pede: uma primitiva (a integral indefinida), isto é, uma função
tal que
, mais uma constante de integração
.
Passo 2
Qual método usar? Quando a integranda é produto de um polinômio (aqui
) por uma exponencial (aqui
), o método mais direto é a integração por partes. Isso porque integração por partes reduz o grau do polinômio até ficar simples de integrar. Vou usar esse método.
Vou lembrar a fórmula de integração por partes. Se
e
são funções de
com derivada e primitiva apropriadas, vale:
Explicando cada símbolo:
é uma função que escolhemos (normalmente algo que fica mais simples ao derivar),
é o resto da integranda que integrarmos para obter
;
é a derivada de
em relação a
; e
é uma primitiva de
.
Passo 3
Escolha das partes. Para
é natural tomar
porque derivando
obtemos algo simples e integrando
continuamos com uma exponencial (fácil de manipular).
Agora calculo
e
.
Passo 4
Calcular
e
.
Derivando :
Derivando
Para obter
preciso integrar
. Faço uma substituição mental padrão: a primitiva de
é
. Portanto
(Se quiser, verificar por diferenciação:
.)
Passo 5
Aplicar a fórmula de integração por partes:
Substituindo
,
e
:
Fatorando constante:
Já sabemos a primitiva de
, é
. Então:
Simplificando:
Passo 6
Dar uma forma alternativa mais compacta (opcional, mas útil na prova): fatorando
,
Ambas as formas são equivalentes; escolha a que achar mais bonita para memorizar.