Calcular as integrais:
\int x \sqrt{1-3 x} d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral indefinida
\int x \sqrt{1-3x}\, dx.
Informações dadas:
  • A variável de integração é x.
  • A integranda é o produto de x por \sqrt{1-3x}.
  • O objetivo é encontrar uma primitiva (antiderivada) para essa função, adicionando a constante arbitrária C.

Passo 2

Observação e escolha do método (sem resolver ainda): a expressão \sqrt{1-3x} é uma função composta com uma parte linear (1-3x) dentro da raiz. Nesses casos é muito eficiente usar a substituição que simplifica a parte interna da raiz. Vamos fazer a substituição
u = 1-3x.
Agora calculamos as relações necessárias para trocar a variável x por u:
du = -3\,dx \quad\Rightarrow\quad dx = -\frac{1}{3}\,du.
Também escrevemos x em função de u (porque x aparece multiplicando a raiz):
x = \frac{1-u}{3}.
Essas expressões permitirão reescrever toda a integral em termos de u.

Passo 3

Substituindo na integral todas as ocorrências de x, \sqrt{1-3x} e dx:
\int x \sqrt{1-3x}\, dx = \int \left(\frac{1-u}{3}\right)\sqrt{u}\left(-\frac{1}{3}\,du\right).
Agrupando constantes:
= -\frac{1}{9}\int (1-u)\,u^{1/2}\,du.
Aqui usei \sqrt{u}=u^{1/2}. Em seguida expandimos o produto dentro da integral:
(1-u)u^{1/2} = u^{1/2} - u^{3/2}.
Portanto
- \frac{1}{9}\int (u^{1/2} - u^{3/2})\,du.

Passo 4

Integramos termo a termo usando a regra de potência para integrais: para qualquer n\neq -1,
\int u^{n}\,du=\frac{u^{n+1}}{n+1}+C.
Aplicando isso a cada termo:
\int u^{1/2}\,du = \frac{u^{3/2}}{3/2} = \frac{2}{3}u^{3/2},
\int u^{3/2}\,du = \frac{u^{5/2}}{5/2} = \frac{2}{5}u^{5/2}.
Substituindo estas primitivas na expressão com o fator -\tfrac{1}{9}:
- \frac{1}{9}\left(\frac{2}{3}u^{3/2} - \frac{2}{5}u^{5/2}\right) + C.

Passo 5

Simplificamos os coeficientes multiplicando -\tfrac{1}{9} pelos fatores:
- \frac{1}{9}\cdot\frac{2}{3} = -\frac{2}{27},\qquad - \frac{1}{9}\cdot\left(-\frac{2}{5}\right)=\frac{2}{45}.
Logo a primitiva em termos de u é
\frac{2}{45}u^{5/2} - \frac{2}{27}u^{3/2} + C.
Voltando à variável x usando u=1-3x, obtemos a primitiva desejada:
\frac{2}{45}(1-3x)^{5/2} - \frac{2}{27}(1-3x)^{3/2} + C.

Passo 6

Verificação rápida por derivação (confirmação didática): derivando a expressão encontrada usando a regra da cadeia deve retornar x\sqrt{1-3x}.
Derivada de \dfrac{2}{45}(1-3x)^{5/2}:
\frac{2}{45}\cdot\frac{5}{2}(1-3x)^{3/2}\cdot(-3) = -\frac{1}{3}(1-3x)^{3/2}.
Derivada de -\dfrac{2}{27}(1-3x)^{3/2}:
-\frac{2}{27}\cdot\frac{3}{2}(1-3x)^{1/2}\cdot(-3) = \frac{1}{3}(1-3x)^{1/2}.
Somando:
-\frac{1}{3}(1-3x)^{3/2}+\frac{1}{3}(1-3x)^{1/2} = \frac{1}{3}(1-3x)^{1/2}\bigl(1-(1-3x)\bigr) = \frac{1}{3}(1-3x)^{1/2}\cdot 3x = x\sqrt{1-3x},
que coincide com a integranda. Portanto a primitiva está correta.

Resposta

\displaystyle \frac{2}{45}(1-3x)^{5/2}-\frac{2}{27}(1-3x)^{3/2}+C

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