Calcular as integrais:
\int x \sqrt{1-3 x} d x
\int x \sqrt{1-3 x} d x
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral indefinida
Informações dadas:
- A variável de integração é
. - A integranda é o produto de
por . - O objetivo é encontrar uma primitiva (antiderivada) para essa função, adicionando a constante arbitrária
.
Passo 2
Observação e escolha do método (sem resolver ainda): a expressão
é uma função composta com uma parte linear
dentro da raiz. Nesses casos é muito eficiente usar a substituição que simplifica a parte interna da raiz. Vamos fazer a substituição
Agora calculamos as relações necessárias para trocar a variável
por
:
Também escrevemos
em função de
(porque
aparece multiplicando a raiz):
Essas expressões permitirão reescrever toda a integral em termos de
.
Passo 3
Substituindo na integral todas as ocorrências de
,
e
:
Agrupando constantes:
Aqui usei
. Em seguida expandimos o produto dentro da integral:
Portanto
Passo 4
Integramos termo a termo usando a regra de potência para integrais: para qualquer
,
Aplicando isso a cada termo:
Substituindo estas primitivas na expressão com o fator
:
Passo 5
Simplificamos os coeficientes multiplicando
pelos fatores:
Logo a primitiva em termos de
é
Voltando à variável
usando
, obtemos a primitiva desejada:
Passo 6
Verificação rápida por derivação (confirmação didática): derivando a expressão encontrada usando a regra da cadeia deve retornar
.
Derivada de
:
Derivada de
:
Somando:
que coincide com a integranda. Portanto a primitiva está correta.