Calcular as integrais:
\int e^{x} \cos \left(\frac{x}{2}\right) d x

Passo 1

O que o problema pede e o que temos: calcular a integral indefinida
\int e^{x}\cos\!\left(\frac{x}{2}\right)\,dx.
Informações relevantes fornecidas:
  • A função integranda é e^{x}\cos\!\left(\frac{x}{2}\right).
  • Queremos uma primitiva (integral indefinida), ou seja, uma função F(x) tal que F'(x)=e^{x}\cos\!\left(\frac{x}{2}\right).
  • Devemos adicionar a constante de integração C ao final.

Passo 2

Escolha do método: vou usar integração por partes repetida (duas vezes). Raciocínio: a integranda é produto de e^{x} (fácil de integrar) e \cos\!\left(\frac{x}{2}\right) (fácil de derivar com regra da cadeia). Aplicar integração por partes duas vezes costuma fechar esse tipo de integral porque reintroduz a integral original, permitindo resolver uma equação algébrica para ela.
Relembrando a fórmula de integração por partes: para funções u(x) e v(x),
\int u\,dv = u v - \int v\,du.
Aqui u é a parte que escolhemos para derivar (produz du) e dv é a parte que integramos (produz v). A escolha é livre; vou escolher de modo a simplificar as derivadas.
Defino a integral a ser calculada por
I=\int e^{x}\cos\!\left(\frac{x}{2}\right)\,dx.

Passo 3

Primeira integração por partes: escolha
u=\cos\!\left(\frac{x}{2}\right),\qquad dv=e^{x}\,dx.
Calcule du e v:
  • Usando a regra da cadeia, a derivada de \cos\!\left(\frac{x}{2}\right) é -\frac{1}{2}\sin\!\left(\frac{x}{2}\right). Portanto
du = -\frac{1}{2}\sin\!\left(\frac{x}{2}\right)\,dx.
  • Integral de dv v=\int e^{x}\,dx=e^{x}.
Aplicando integração por partes:
I = u v - \int v\,du = e^{x}\cos\!\left(\frac{x}{2}\right) - \int e^{x}\!\left(-\tfrac{1}{2}\sin\!\left(\tfrac{x}{2}\right)\right)\,dx.
Simplificando o sinal:
I = e^{x}\cos\!\left(\frac{x}{2}\right) + \frac{1}{2}\int e^{x}\sin\!\left(\frac{x}{2}\right)\,dx.
Definimos então
J=\int e^{x}\sin\!\left(\frac{x}{2}\right)\,dx,
de modo que
I = e^{x}\cos\!\left(\frac{x}{2}\right) + \frac{1}{2}J.

Passo 4

Segunda integração por partes: agora calculamos J. Escolho
u=\sin\!\left(\frac{x}{2}\right),\qquad dv=e^{x}\,dx.
Calcule du e v:
  • Derivando \sin\!\left(\frac{x}{2}\right) pela regra da cadeia: \frac{d}{dx}\sin\!\left(\frac{x}{2}\right)=\frac{1}{2}\cos\!\left(\frac{x}{2}\right). Então
du = \frac{1}{2}\cos\!\left(\frac{x}{2}\right)\,dx.
  • Como antes, v=e^{x}.
Aplicando integração por partes:
J = e^{x}\sin\!\left(\frac{x}{2}\right) - \int e^{x}\left(\frac{1}{2}\cos\!\left(\frac{x}{2}\right)\right)\,dx.
Ou seja,
J = e^{x}\sin\!\left(\frac{x}{2}\right) - \frac{1}{2}\int e^{x}\cos\!\left(\frac{x}{2}\right)\,dx.
Mas a integral que aparece é exatamente I. Portanto
J = e^{x}\sin\!\left(\frac{x}{2}\right) - \frac{1}{2}I.

Passo 5

Voltar à relação do Passo 3 e eliminar J: lembrando que
I = e^{x}\cos\!\left(\frac{x}{2}\right) + \frac{1}{2}J,
substituo J obtido no Passo 4:
I = e^{x}\cos\!\left(\frac{x}{2}\right) + \frac{1}{2}\left(e^{x}\sin\!\left(\frac{x}{2}\right) - \frac{1}{2}I\right).
Desenvolvendo:
I = e^{x}\cos\!\left(\frac{x}{2}\right) + \frac{1}{2}e^{x}\sin\!\left(\frac{x}{2}\right) - \frac{1}{4}I.
Agora isolo I somando \frac{1}{4}I aos dois lados:
I + \frac{1}{4}I = e^{x}\cos\!\left(\frac{x}{2}\right) + \frac{1}{2}e^{x}\sin\!\left(\frac{x}{2}\right).
Somando os coeficientes do lado esquerdo:
\frac{5}{4}I = e^{x}\left(\cos\!\left(\frac{x}{2}\right) + \frac{1}{2}\sin\!\left(\frac{x}{2}\right)\right).
Finalmente,
I = \frac{4}{5}\,e^{x}\left(\cos\!\left(\frac{x}{2}\right) + \frac{1}{2}\sin\!\left(\frac{x}{2}\right)\right) + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 6

Verificação rápida (útil para a prova): derivando a primitiva encontrada deve-se recuperar a integranda. Derivando
F(x)=\frac{4}{5}e^{x}\left(\cos\!\left(\frac{x}{2}\right) + \frac{1}{2}\sin\!\left(\frac{x}{2}\right)\right)
usa-se produto e regra da cadeia; o cálculo reduz a e^{x}\cos\!\left(\frac{x}{2}\right), confirmando que F'(x) é a função integranda. (Esse é um bom hábito: quando terminar, derive para checar.)

Resposta

\int e^{x}\cos\!\left(\frac{x}{2}\right)\,dx=\frac{4}{5}\,e^{x}\left(\cos\!\left(\frac{x}{2}\right)+\frac{1}{2}\sin\!\left(\frac{x}{2}\right)\right)+C

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