Calcular as integrais:
\int e^{x} \cos \left(\frac{x}{2}\right) d x
\int e^{x} \cos \left(\frac{x}{2}\right) d x
Passo 1
O que o problema pede e o que temos: calcular a integral indefinida
Informações relevantes fornecidas:
- A função integranda é
. - Queremos uma primitiva (integral indefinida), ou seja, uma função
tal que . - Devemos adicionar a constante de integração
ao final.
Passo 2
Escolha do método: vou usar integração por partes repetida (duas vezes). Raciocínio: a integranda é produto de
(fácil de integrar) e
(fácil de derivar com regra da cadeia). Aplicar integração por partes duas vezes costuma fechar esse tipo de integral porque reintroduz a integral original, permitindo resolver uma equação algébrica para ela.
Relembrando a fórmula de integração por partes: para funções
e
,
Aqui
é a parte que escolhemos para derivar (produz
) e
é a parte que integramos (produz
). A escolha é livre; vou escolher de modo a simplificar as derivadas.
Defino a integral a ser calculada por
Passo 3
Primeira integração por partes: escolha
Calcule
e
:
- Usando a regra da cadeia, a derivada de
é . Portanto
- Integral de
dá .
Aplicando integração por partes:
Simplificando o sinal:
Definimos então
de modo que
Passo 4
Segunda integração por partes: agora calculamos
. Escolho
Calcule
e
:
- Derivando
pela regra da cadeia: . Então
- Como antes,
.
Aplicando integração por partes:
Ou seja,
Mas a integral que aparece é exatamente
. Portanto
Passo 5
Voltar à relação do Passo 3 e eliminar
: lembrando que
substituo
obtido no Passo 4:
Desenvolvendo:
Agora isolo
somando
aos dois lados:
Somando os coeficientes do lado esquerdo:
Finalmente,
onde
é a constante de integração.
Passo 6
Verificação rápida (útil para a prova): derivando a primitiva encontrada deve-se recuperar a integranda. Derivando
usa-se produto e regra da cadeia; o cálculo reduz a
, confirmando que
é a função integranda. (Esse é um bom hábito: quando terminar, derive para checar.)