Calcular as integrais:
\int \cot ^{3} 4 x \csc ^{3} 4 x \mathrm{~d} x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral
\int \cot^{3}(4x)\,\csc^{3}(4x)\,dx.
Informações dadas importantes (que vêm do enunciado):
  • A função integranda é o produto de potências de funções trigonométricas: \cot(4x) elevada à 3 e \csc(4x) elevada à 3.
  • O argumento das funções é 4x (há uma constante multiplicativa dentro das funções).
  • Não há outras informações (como limites); trata-se de uma primitiva indefinida.

Passo 2

Observação sobre a estratégia (explicada passo a passo): é útil procurar um substituto cuja diferencial apareça, até multiplicação por constantes, dentro da integranda. Para isso vamos lembrar a derivada da função \csc (aplicando a regra da cadeia quando o argumento é 4x).
Regra da cadeia (lembrete rápido): se v(x)=g(h(x)) então v'(x)=g'(h(x))\cdot h'(x). Aqui isso será usado para derivar \csc(4x).
Calculemos a derivada de \csc(4x):
\frac{d}{dx}\big(\csc(4x)\big)= -\csc(4x)\cot(4x)\cdot \frac{d}{dx}(4x) = -4\,\csc(4x)\cot(4x).
Portanto, em diferencial,
d\big(\csc(4x)\big) = -4\,\csc(4x)\cot(4x)\,dx.

Passo 3

Reescrever a integranda de forma a isolar o fator \csc(4x)\cot(4x)\,dx (que aparece na expressão de d(\csc(4x))):
\cot^{3}(4x)\,\csc^{3}(4x) = \big(\csc(4x)\cot(4x)\big)\cdot\big(\cot^{2}(4x)\,\csc^{2}(4x)\big).
A ideia é usar a substituição u=\csc(4x), pois o diferencial du traz exatamente o fator \csc(4x)\cot(4x)\,dx, como vimos.

Passo 4

Antes de substituir, expressar \cot^{2}(4x) em termos de \csc^{2}(4x) para poder escrever tudo em função de u.
Identidade trigonométrica (derivada de 1+\cot^2=\csc^2): temos
\cot^{2}(4x)=\csc^{2}(4x)-1.
Então
\cot^{2}(4x)\,\csc^{2}(4x) = \big(\csc^{2}(4x)-1\big)\csc^{2}(4x) = \csc^{4}(4x)-\csc^{2}(4x).

Passo 5

Agora fazemos a substituição u=\csc(4x). Já temos du = -4\,\csc(4x)\cot(4x)\,dx, logo
\csc(4x)\cot(4x)\,dx = -\frac{1}{4}\,du.
Substituindo tudo na integral:
\int \cot^{3}(4x)\,\csc^{3}(4x)\,dx = \int \big(\csc(4x)\cot(4x)\big)\big(\csc^{4}(4x)-\csc^{2}(4x)\big)\,dx.
Em termos de u:
= \int (u^{4}-u^{2})\cdot\big(\csc(4x)\cot(4x)\,dx\big) = \int (u^{4}-u^{2})\cdot\left(-\frac{1}{4}\,du\right).
Portanto
\int \cot^{3}(4x)\,\csc^{3}(4x)\,dx = -\frac{1}{4}\int (u^{4}-u^{2})\,du.

Passo 6

Integrar o polinômio em u termo a termo:
-\frac{1}{4}\int (u^{4}-u^{2})\,du = -\frac{1}{4}\left(\frac{u^{5}}{5}-\frac{u^{3}}{3}\right)+C.
Simplificando os coeficientes:
-\frac{1}{4}\cdot\frac{u^{5}}{5} = -\frac{1}{20}u^{5}, \qquad -\frac{1}{4}\cdot\left(-\frac{u^{3}}{3}\right)=\frac{1}{12}u^{3}.
Logo a primitiva em u é
-\frac{1}{20}u^{5}+\frac{1}{12}u^{3}+C.

Passo 7

Voltar à variável original: u=\csc(4x). Substituindo:
-\frac{1}{20}\csc^{5}(4x)+\frac{1}{12}\csc^{3}(4x)+C.
Esse é o resultado final da integral.

Resposta

-\dfrac{1}{20}\csc^{5}(4x)+\dfrac{1}{12}\csc^{3}(4x)+C

Exercícios relacionados