Calcular as integrais:
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral
Informações dadas importantes (que vêm do enunciado):
- A função integranda é o produto de potências de funções trigonométricas:
elevada à e elevada à . - O argumento das funções é
(há uma constante multiplicativa dentro das funções). - Não há outras informações (como limites); trata-se de uma primitiva indefinida.
Passo 2
Observação sobre a estratégia (explicada passo a passo): é útil procurar um substituto cuja diferencial apareça, até multiplicação por constantes, dentro da integranda. Para isso vamos lembrar a derivada da função
(aplicando a regra da cadeia quando o argumento é
).
Regra da cadeia (lembrete rápido): se
então
. Aqui isso será usado para derivar
.
Calculemos a derivada de
:
Portanto, em diferencial,
Passo 3
Reescrever a integranda de forma a isolar o fator
(que aparece na expressão de
):
A ideia é usar a substituição
, pois o diferencial
traz exatamente o fator
, como vimos.
Passo 4
Antes de substituir, expressar
em termos de
para poder escrever tudo em função de
.
Identidade trigonométrica (derivada de
): temos
Então
Passo 5
Agora fazemos a substituição
. Já temos
, logo
Substituindo tudo na integral:
Em termos de
:
Portanto
Passo 6
Integrar o polinômio em
termo a termo:
Simplificando os coeficientes:
Logo a primitiva em
é
Passo 7
Voltar à variável original:
. Substituindo:
Esse é o resultado final da integral.