Calcular as integrais:
\int\left(\frac{18}{x^{2}+9}+\frac{\tan x}{\operatorname{sec} x}\right) \mathrm{d} x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral
\int\left(\frac{18}{x^{2}+9}+\frac{\tan x}{\operatorname{sec} x}\right)\mathrm{d}x.
Informações dadas:
  • A integranda é a soma de duas parcelas: \dfrac{18}{x^{2}+9} e \dfrac{\tan x}{\operatorname{sec} x}.
  • Precisa-se do antiderivado (integral indefinida), portanto a resposta deve vir com uma constante de integração C.

Passo 2

Primeiro simplificar a segunda parcela \dfrac{\tan x}{\operatorname{sec} x}. Lembrando as identidades trigonométricas básicas:
\tan x = \frac{\sin x}{\cos x},\qquad \operatorname{sec} x = \frac{1}{\cos x}.
Fazendo a divisão:
\frac{\tan x}{\operatorname{sec} x}=\frac{\dfrac{\sin x}{\cos x}}{\dfrac{1}{\cos x}}=\frac{\sin x}{\cos x}\cdot\cos x=\sin x.
Logo a integral fica
\int\left(\frac{18}{x^{2}+9}+\sin x\right)\mathrm{d}x.

Passo 3

Vamos integrar a primeira parcela \displaystyle\int\frac{18}{x^{2}+9}\mathrm{d}x. Usamos a fórmula padrão
\int\frac{1}{x^{2}+a^{2}}\mathrm{d}x=\frac{1}{a}\arctan\!\left(\frac{x}{a}\right)+C,
onde a>0. Aqui a^{2}=9, portanto a=3.
Para ver por que a fórmula vale, faço uma substituição direta: defina \displaystyle u=\frac{x}{3}. Então \mathrm{d}u=\frac{1}{3}\mathrm{d}x, ou \mathrm{d}x=3\,\mathrm{d}u. Reescrevendo a integral:
\int\frac{18}{x^{2}+9}\mathrm{d}x = \int\frac{18}{9u^{2}+9}\cdot 3\,\mathrm{d}u = \int\frac{54}{9(u^{2}+1)}\,\mathrm{d}u = \int\frac{6}{u^{2}+1}\,\mathrm{d}u.
Agora usar \displaystyle\int\frac{1}{u^{2}+1}\mathrm{d}u=\arctan(u)+C
\int\frac{6}{u^{2}+1}\mathrm{d}u=6\arctan(u)+C=6\arctan\!\left(\frac{x}{3}\right)+C.
Portanto
\int\frac{18}{x^{2}+9}\mathrm{d}x=6\arctan\!\left(\frac{x}{3}\right)+C_1.

Passo 4

Agora integrar a segunda parcela \displaystyle\int\sin x\,\mathrm{d}x. Lembrando que a derivada de \cos x é -\sin x, então um antiderivado de \sin x é -\cos x. Logo
\int\sin x\,\mathrm{d}x=-\cos x + C_2.

Passo 5

Somando as duas partes (e unificando a constante de integração em uma só C), o antiderivado da integranda original é
6\arctan\!\left(\frac{x}{3}\right)-\cos x + C.

Resposta

6\arctan\!\left(\dfrac{x}{3}\right)-\cos x + C

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