Calcular as integrais:
\int\left(9 \operatorname{sec} x+3 \cot ^{2} x\right) \mathrm{d} x

Passo 1

O que o problema pede e o que nos foi dado:
  • Pedem para calcular a integral indefinida
\int\!\left(9\operatorname{sec} x + 3\cot^{2}x\right)\,dx.
  • Informações úteis que já vêm do enunciado:
    • A função a integrar é a soma de duas parcelas: 9\operatorname{sec} x e 3\cot^{2}x.
    • Podemos usar linearidade da integral para separar essas duas parcelas.
  • Objetivo: encontrar uma primitiva (antiderivada) dessa função, ou seja, uma expressão F(x) tal que F'(x)=9\operatorname{sec} x + 3\cot^{2}x, mais a constante de integração C.

Passo 2

Usar a linearidade da integral para separar as parcelas:
\int\!\left(9\operatorname{sec} x + 3\cot^{2}x\right)\,dx = \int\!9\operatorname{sec} x\,dx + \int\!3\cot^{2}x\,dx.
Explicando: a integral de uma soma é a soma das integrais, e constantes podem sair da integral. Então vamos calcular separadamente \int\!9\operatorname{sec} x\,dx e \int\!3\cot^{2}x\,dx.

Passo 3

Calcular \int\!9\operatorname{sec} x\,dx.
  • Primeiro fatoramos a constante 9:
\int\!9\operatorname{sec} x\,dx = 9\int\!\operatorname{sec} x\,dx.
  • Agora precisamos da primitiva de \operatorname{sec} x. Existe um truque clássico: multiplicar por \dfrac{\operatorname{sec} x+\tan x}{\operatorname{sec} x+\tan x} para obter um numerador igual à derivada do denominador. Mostrando passo a passo:
\int\!\operatorname{sec} x\,dx = \int\!\operatorname{sec} x\cdot\frac{\operatorname{sec} x+\tan x}{\operatorname{sec} x+\tan x}\,dx = \int\!\frac{\operatorname{sec}^{2}x + \operatorname{sec} x\tan x}{\operatorname{sec} x+\tan x}\,dx.
  • Agora note que a derivada de \operatorname{sec} x+\tan x é
\frac{d}{dx}\!(\operatorname{sec} x+\tan x)=\operatorname{sec} x\tan x + \operatorname{sec}^{2}x,
ou seja, o numerador da fração. Portanto, podemos fazer a substituição u=\operatorname{sec} x+\tan x. Então du=(\operatorname{sec}^{2}x+\operatorname{sec} x\tan x)\,dx, e a integral vira
\int\!\frac{du}{u}=\ln|u|+C=\ln|\operatorname{sec} x + \tan x|+C.
  • Concluindo:
\int\!\operatorname{sec} x\,dx=\ln|\operatorname{sec} x+\tan x|+C,
e multiplicando por 9:
\int\!9\operatorname{sec} x\,dx=9\ln|\operatorname{sec} x+\tan x|+C.

Passo 4

Calcular \int\!3\cot^{2}x\,dx.
  • Primeiro, usar a identidade pitagórica para funções trigonométricas: 1+\cot^{2}x=\csc^{2}x. Desse modo
\cot^{2}x=\csc^{2}x - 1.
  • Substituindo na integral:
\int\!3\cot^{2}x\,dx = 3\int\!(\csc^{2}x - 1)\,dx = 3\int\!\csc^{2}x\,dx - 3\int\!1\,dx.
  • Agora lembrar primitivas básicas:
    • \dfrac{d}{dx}(\cot x) = -\csc^{2}x, então \int\!\csc^{2}x\,dx = -\cot x + C.
    • \int\!1\,dx = x + C.
  • Aplicando:
3\int\!\csc^{2}x\,dx - 3\int\!1\,dx = 3(-\cot x) - 3x = -3\cot x - 3x + C.

Passo 5

Juntar as duas parcelas calculadas:
  • Da Parte do \operatorname{sec} x obtivemos 9\ln|\operatorname{sec} x+\tan x|.
  • Da Parte do \cot^{2}x obtivemos -3\cot x - 3x.
    Somando (e agrupando a constante de integração em apenas uma C):
\int\!\left(9\operatorname{sec} x + 3\cot^{2}x\right)\,dx = 9\ln|\operatorname{sec} x+\tan x| - 3\cot x - 3x + C.

Passo 6

Verificação rápida por diferenciação (para ficar mais tranquilo):
  • Derivando 9\ln|\operatorname{sec} x+\tan x| usamos cadeia: \displaystyle 9\cdot\frac{\operatorname{sec} x\tan x + \operatorname{sec}^{2}x}{\operatorname{sec} x+\tan x} = 9\operatorname{sec} x (porque o numerador é \operatorname{sec} x(\operatorname{sec} x+\tan x)).
  • Derivando -3\cot x obtemos -3(-\csc^{2}x)=3\csc^{2}x.
  • Derivando -3x obtemos -3.
  • Somando: 9\operatorname{sec} x + 3\csc^{2}x - 3. Usando \csc^{2}x-1=\cot^{2}x, temos 3\csc^{2}x - 3 = 3(\csc^{2}x-1)=3\cot^{2}x. Portanto a derivada total é 9\operatorname{sec} x + 3\cot^{2}x, que é exatamente o integrando, confirmação OK.

Resposta

9\ln\bigl|\operatorname{sec} x+\tan x\bigr| - 3\cot x - 3x + C

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