Calcular as integrais:
Passo 1
O que o problema pede e o que nos foi dado:
- Pedem para calcular a integral indefinida
- Informações úteis que já vêm do enunciado:
- A função a integrar é a soma de duas parcelas:
e . - Podemos usar linearidade da integral para separar essas duas parcelas.
- A função a integrar é a soma de duas parcelas:
- Objetivo: encontrar uma primitiva (antiderivada) dessa função, ou seja, uma expressão
tal que , mais a constante de integração .
Passo 2
Usar a linearidade da integral para separar as parcelas:
Explicando: a integral de uma soma é a soma das integrais, e constantes podem sair da integral. Então vamos calcular separadamente
e
.
Passo 3
Calcular
.
- Primeiro fatoramos a constante
:
- Agora precisamos da primitiva de
. Existe um truque clássico: multiplicar por para obter um numerador igual à derivada do denominador. Mostrando passo a passo:
- Agora note que a derivada de
é
ou seja, o numerador da fração. Portanto, podemos fazer a substituição
. Então
, e a integral vira
- Concluindo:
e multiplicando por
:
Passo 4
Calcular
.
- Primeiro, usar a identidade pitagórica para funções trigonométricas:
. Desse modo
- Substituindo na integral:
- Agora lembrar primitivas básicas:
-
, então . -
.
-
- Aplicando:
Passo 5
Juntar as duas parcelas calculadas:
- Da Parte do
obtivemos . - Da Parte do
obtivemos .
Somando (e agrupando a constante de integração em apenas uma):
Passo 6
Verificação rápida por diferenciação (para ficar mais tranquilo):
- Derivando
usamos cadeia: (porque o numerador é ). - Derivando
obtemos . - Derivando
obtemos . - Somando:
. Usando , temos . Portanto a derivada total é , que é exatamente o integrando, confirmação OK.