Calcular as integrais:
\int \frac{\csc ^{2}(\ln x)}{x} \mathrm{~d} x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \frac{\csc^{2}(\ln x)}{x}\, \mathrm{d}x.
Informações dadas:
  • A função a integrar é \dfrac{\csc^{2}(\ln x)}{x}.
  • A variável de integração é x.
  • É esperado encontrar uma primitiva (ou seja, uma função cuja derivada seja a integranda), mais uma constante de integração.

Passo 2

Vamos observar a estrutura da integranda para escolher uma substituição conveniente. Note que aparece \ln x dentro de uma função trigonométrica e também aparece um fator 1/x multiplicando essa função. Isso sugere usar a substituição
u=\ln x.
Explicando por que: a derivada de \ln x em relação a x é 1/x, exatamente o fator que acompanha a função de \ln x. Agora calculemos du:
du=\frac{1}{x}\,\mathrm{d}x.
Isto significa que o elemento \dfrac{\mathrm{d}x}{x} pode ser substituído por du.

Passo 3

Fazendo a substituição u=\ln x na integral, trocamos \dfrac{\mathrm{d}x}{x} por du e \csc^{2}(\ln x) por \csc^{2}(u). Assim a integral fica
\int \frac{\csc^{2}(\ln x)}{x}\, \mathrm{d}x = \int \csc^{2}(u)\, \mathrm{d}u.

Passo 4

Agora precisamos integrar \csc^{2}(u). Lembremos a relação entre derivadas e integrais das funções trigonométricas: a derivada de \cot u em relação a u é
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}u}\big(\cot u\big) = -\csc^{2}u.
Isso pode ser visto usando \cot u=\dfrac{\cos u}{\sin u} e a regra do quociente, ou lembrando as derivadas padrão. Como a derivada de \cot u é -\csc^{2}u, concluímos que uma primitiva de \csc^{2}u é -\cot u. Portanto
\int \csc^{2}(u)\, \mathrm{d}u = -\cot u + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 5

Voltemos à variável original x substituindo u=\ln x. Assim a primitiva encontrada é
-\cot(\ln x) + C.

Passo 6

Verificação rápida (checando que a derivada da primitiva dá a integranda): calculemos
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\big(-\cot(\ln x)\big) = -\left(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}u}\cot u\Big|_{u=\ln x}\right)\cdot\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\ln x) = -\big(-\csc^{2}(\ln x)\big)\cdot\frac{1}{x} = \frac{\csc^{2}(\ln x)}{x},
que coincide com a integranda. Logo a primitiva está correta.

Resposta

-\cot(\ln x)+C

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