Calcular as integrais:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral
Informações dadas:
- A função a integrar é
. - A variável de integração é
. - É esperado encontrar uma primitiva (ou seja, uma função cuja derivada seja a integranda), mais uma constante de integração.
Passo 2
Vamos observar a estrutura da integranda para escolher uma substituição conveniente. Note que aparece
dentro de uma função trigonométrica e também aparece um fator
multiplicando essa função. Isso sugere usar a substituição
Explicando por que: a derivada de
em relação a
é
, exatamente o fator que acompanha a função de
. Agora calculemos
:
Isto significa que o elemento
pode ser substituído por
.
Passo 3
Fazendo a substituição
na integral, trocamos
por
e
por
. Assim a integral fica
Passo 4
Agora precisamos integrar
. Lembremos a relação entre derivadas e integrais das funções trigonométricas: a derivada de
em relação a
é
Isso pode ser visto usando
e a regra do quociente, ou lembrando as derivadas padrão. Como a derivada de
é
, concluímos que uma primitiva de
é
. Portanto
onde
é a constante de integração.
Passo 5
Voltemos à variável original
substituindo
. Assim a primitiva encontrada é
Passo 6
Verificação rápida (checando que a derivada da primitiva dá a integranda): calculemos
que coincide com a integranda. Logo a primitiva está correta.