Calcular as integrais:
Passo 1
O que o enunciado pede e o que temos:
- Pede calcular a primitiva (uma antiderivada) da função
, ou seja a integral
- Dados: a expressão dentro da raiz é
, o que sugere que uma substituição que troque essa expressão por uma nova variável vai simplificar a raiz.
Passo 2
Escolha do método (substituição) e por que funciona:
- Fazer a substituição
é natural porque aparece . Ao trocar para a raiz vira uma potência simples . - Calculemos as relações necessárias:
Diferenciando ambos os lados obtemos
ou seja
Também escrevemos
em função de
:
Passo 3
Transformar a integral em
:
- Substituindo
e na integral,
- Expandimos
para integrar termo a termo:
Logo o integrando fica
Passo 4
Regra de potência para integrais (aulas rápidas):
- Para qualquer expoente
vale a regra
- Vamos aplicar essa regra a cada termo
, e :
Passo 5
Calcular a integral completa em
e simplificar coeficientes:
- Aplicando as integrais termo a termo com o sinal negativo que estava fora,
- Simplificando os coeficientes:
Portanto
Passo 6
Voltar para a variável
e escrever a primitiva final:
- Lembrando que
, substituímos de volta:
- Dica prática para a prova: a substituição
é uma técnica padrão quando aparece (ou potência) multiplicada por um polinômio em . Expanda o polinômio em e aplique a regra de potência.