Calcular as integrais:
\int x^{2} \sqrt{3-x} \mathrm{~d} x

Passo 1

O que o enunciado pede e o que temos:
  • Pede calcular a primitiva (uma antiderivada) da função x^{2}\sqrt{3-x}, ou seja a integral
\int x^{2}\sqrt{3-x}\,\mathrm{d}x.
  • Dados: a expressão dentro da raiz é 3-x, o que sugere que uma substituição que troque essa expressão por uma nova variável vai simplificar a raiz.

Passo 2

Escolha do método (substituição) e por que funciona:
  • Fazer a substituição u=3-x é natural porque aparece \sqrt{3-x}=\sqrt{u}. Ao trocar para u a raiz vira uma potência simples u^{1/2}.
  • Calculemos as relações necessárias:
u=3-x.
Diferenciando ambos os lados obtemos
\mathrm{d}u=-\mathrm{d}x,
ou seja
\mathrm{d}x=-\mathrm{d}u.
Também escrevemos x em função de u:
x=3-u.

Passo 3

Transformar a integral em u:
  • Substituindo x=3-u e \mathrm{d}x=-\mathrm{d}u na integral,
\int x^{2}\sqrt{3-x}\,\mathrm{d}x = \int (3-u)^{2}\sqrt{u}\,(-\mathrm{d}u) = - \int (3-u)^{2} u^{1/2}\,\mathrm{d}u.
  • Expandimos (3-u)^{2} para integrar termo a termo:
(3-u)^{2}=9-6u+u^{2}.
Logo o integrando fica
- \int \bigl(9-6u+u^{2}\bigr) u^{1/2}\,\mathrm{d}u = - \int \bigl(9u^{1/2}-6u^{3/2}+u^{5/2}\bigr)\,\mathrm{d}u.

Passo 4

Regra de potência para integrais (aulas rápidas):
  • Para qualquer expoente n\neq -1 vale a regra
\int u^{n}\,\mathrm{d}u=\frac{u^{n+1}}{n+1}+C.
  • Vamos aplicar essa regra a cada termo u^{1/2}, u^{3/2} e u^{5/2}:
\int u^{1/2}\,\mathrm{d}u=\frac{u^{3/2}}{3/2}=\frac{2}{3}u^{3/2},
\int u^{3/2}\,\mathrm{d}u=\frac{u^{5/2}}{5/2}=\frac{2}{5}u^{5/2},
\int u^{5/2}\,\mathrm{d}u=\frac{u^{7/2}}{7/2}=\frac{2}{7}u^{7/2}.

Passo 5

Calcular a integral completa em u e simplificar coeficientes:
  • Aplicando as integrais termo a termo com o sinal negativo que estava fora,
- \int \bigl(9u^{1/2}-6u^{3/2}+u^{5/2}\bigr)\,\mathrm{d}u = - \Bigl(9\cdot\frac{2}{3}u^{3/2}-6\cdot\frac{2}{5}u^{5/2}+1\cdot\frac{2}{7}u^{7/2}\Bigr)+C.
  • Simplificando os coeficientes:
9\cdot\frac{2}{3}=6,\qquad 6\cdot\frac{2}{5}=\frac{12}{5}.
Portanto
- \Bigl(6u^{3/2}-\frac{12}{5}u^{5/2}+\frac{2}{7}u^{7/2}\Bigr)+C = -6u^{3/2}+\frac{12}{5}u^{5/2}-\frac{2}{7}u^{7/2}+C.

Passo 6

Voltar para a variável x e escrever a primitiva final:
  • Lembrando que u=3-x, substituímos de volta:
\int x^{2}\sqrt{3-x}\,\mathrm{d}x = -6(3-x)^{3/2}+\frac{12}{5}(3-x)^{5/2}-\frac{2}{7}(3-x)^{7/2}+C.
  • Dica prática para a prova: a substituição u=3-x é uma técnica padrão quando aparece \sqrt{a+bx} (ou potência) multiplicada por um polinômio em x. Expanda o polinômio em u e aplique a regra de potência.

Resposta

-6(3-x)^{3/2}+\dfrac{12}{5}(3-x)^{5/2}-\dfrac{2}{7}(3-x)^{7/2}+C

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