Calcular as integrais:
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular a integral definida
Informações dadas (explicitando o que aparece no integrando):
- O integrando é
. - Os limites de integração são
e .
Passo 2
Estratégia (sem resolver ainda): observar que a expressão usa
de forma repetida. Uma técnica padrão é fazer uma substituição para eliminar a raiz, por exemplo definir uma nova variável igual a
. Vou explicar por que isso funciona e como proceder.
Breve explicação da técnica de substituição:
- Se eu fizer uma mudança de variável
bijetora no intervalo de integração, então e os limites mudam conforme avaliado nas extremidades. - Aqui é conveniente escolher uma
que simplifique a raiz; por isso escolho . Isso costuma transformar expressões com em polinômios ou potências simples, facilitando a integração.
Passo 3
Fazer a substituição
. Escrever as relações entre
e
:
Derivar
para obter
:
Trocar também os limites de integração usando
:
Passo 4
Substituir
e
no integrando e simplificar passo a passo:
Aqui há uma simplificação imediata do fator
no numerador com o
do denominador, ficando
Portanto a integral definida original transforma-se em
Passo 5
Agora integrar a função
. Relembrando a regra de potências para integrais:
- Se
com , então .
No nosso caso podemos tomar, então e . Assim:
Aplicando a regra de potências com
:
Multiplicando por
obtemos a primitiva para o integrando:
Portanto uma antiderivada é
.
Passo 6
Avaliar a primitiva
entre os limites
e
:
Calcular os termos separadamente:
portanto
Passo 7
Fazer a operação aritmética final: