Calcular as integrais:
\int_{1}^{4} \frac{d x}{\sqrt{x}(1+\sqrt{x})^{3}}

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a integral definida
\int_{1}^{4} \frac{dx}{\sqrt{x}\,(1+\sqrt{x})^{3}}.
Informações dadas (explicitando o que aparece no integrando):
  • O integrando é \dfrac{1}{\sqrt{x}\,(1+\sqrt{x})^{3}}.
  • Os limites de integração são x=1 e x=4.

Passo 2

Estratégia (sem resolver ainda): observar que a expressão usa \sqrt{x} de forma repetida. Uma técnica padrão é fazer uma substituição para eliminar a raiz, por exemplo definir uma nova variável igual a \sqrt{x}. Vou explicar por que isso funciona e como proceder.
Breve explicação da técnica de substituição:
  • Se eu fizer uma mudança de variável t=g(x) bijetora no intervalo de integração, então dx = g^{-1\prime}(t)\,dt e os limites mudam conforme t=g(x) avaliado nas extremidades.
  • Aqui é conveniente escolher uma t que simplifique a raiz; por isso escolho t=\sqrt{x}. Isso costuma transformar expressões com \sqrt{x} em polinômios ou potências simples, facilitando a integração.

Passo 3

Fazer a substituição t=\sqrt{x}. Escrever as relações entre x, t e dx:
t=\sqrt{x}\quad\Rightarrow\quad x=t^{2}.
Derivar x=t^{2} para obter dx:
dx = 2t\,dt.
Trocar também os limites de integração usando t=\sqrt{x}:
\text{quando } x=1,\; t=\sqrt{1}=1;\qquad \text{quando } x=4,\; t=\sqrt{4}=2.

Passo 4

Substituir x=t^{2} e dx=2t\,dt no integrando e simplificar passo a passo:
\frac{dx}{\sqrt{x}\,(1+\sqrt{x})^{3}} = \frac{2t\,dt}{t\,(1+t)^{3}}.
Aqui há uma simplificação imediata do fator t no numerador com o t do denominador, ficando
\frac{2t\,dt}{t\,(1+t)^{3}} = \frac{2\,dt}{(1+t)^{3}}.
Portanto a integral definida original transforma-se em
\int_{1}^{4} \frac{dx}{\sqrt{x}\,(1+\sqrt{x})^{3}} = \int_{t=1}^{t=2} \frac{2\,dt}{(1+t)^{3}}.

Passo 5

Agora integrar a função \dfrac{2}{(1+t)^{3}}. Relembrando a regra de potências para integrais:
  • Se \displaystyle \int u^{n}\,du com n\neq -1, então \displaystyle \int u^{n}\,du = \frac{u^{n+1}}{n+1}+C.
    No nosso caso podemos tomar u=1+t, então du=dt e n=-3. Assim:
\int \frac{2\,dt}{(1+t)^{3}} = 2\int (1+t)^{-3}\,dt.
Aplicando a regra de potências com n=-3:
\int (1+t)^{-3}\,dt = \frac{(1+t)^{-2}}{-2} + C.
Multiplicando por 2 obtemos a primitiva para o integrando:
2\int (1+t)^{-3}\,dt = 2\cdot\frac{(1+t)^{-2}}{-2} = - (1+t)^{-2}.
Portanto uma antiderivada é F(t) = - (1+t)^{-2}.

Passo 6

Avaliar a primitiva F(t)=- (1+t)^{-2} entre os limites t=1 e t=2:
F(2)-F(1) = - (1+2)^{-2} - \bigl(- (1+1)^{-2}\bigr).
Calcular os termos separadamente:
- (1+2)^{-2} = -3^{-2} = -\frac{1}{9},
- (1+1)^{-2} = -2^{-2} = -\frac{1}{4},
portanto
F(2)-F(1) = -\frac{1}{9} - \bigl(-\frac{1}{4}\bigr) = -\frac{1}{9} + \frac{1}{4}.

Passo 7

Fazer a operação aritmética final:
-\frac{1}{9} + \frac{1}{4} = \frac{-4+9}{36} = \frac{5}{36}.

Resposta

\dfrac{5}{36}

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