Calcular as integrais:
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral indefinida
Informações dadas e observações iniciais:
- A expressão dentro da raiz é
. - A constante
é tratada como parâmetro (constante). - Precisamos retornar uma primitiva (integral indefinida), ou seja, a antiderivada mais uma constante de integração.
Passo 2
Primeiro simplifico a raiz. Para qualquer
vale
. Aqui
para todo
, então posso escrever a integranda como
A integral fica
Passo 3
Vou usar a substituição que simplifica a parte composta
. Defino
Agora calculo
usando a regra da cadeia (derivada de
é
):
Dessa igualdade isolo
:
Passo 4
Substituo na integral inicial:
vira
e
vira
. Assim
Passo 5
Agora aplico a regra de potência para integrais: para
,
Aqui
, logo
Multiplicando pelo fator
obtemos
onde
é a constante de integração.
Passo 6
Volto à variável original substituindo
:
Faço uma verificação rápida por derivação: derivando
obtém-se
, que é exatamente a integranda, então a primitiva está correta.