Calcular as integrais:
\int \sqrt{\left(1+e^{-a t}\right)^{3}} e^{-a t} d t

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral indefinida
\int \sqrt{\left(1+e^{-a t}\right)^{3}}\,e^{-a t}\,dt.
Informações dadas e observações iniciais:
  • A expressão dentro da raiz é \left(1+e^{-a t}\right)^{3}.
  • A constante a é tratada como parâmetro (constante).
  • Precisamos retornar uma primitiva (integral indefinida), ou seja, a antiderivada mais uma constante de integração.

Passo 2

Primeiro simplifico a raiz. Para qualquer x\ge0 vale \sqrt{x^{3}}=x^{3/2}. Aqui 1+e^{-a t}>0 para todo t, então posso escrever a integranda como
\left(1+e^{-a t}\right)^{3/2} e^{-a t}.
A integral fica
\int \left(1+e^{-a t}\right)^{3/2} e^{-a t}\,dt.

Passo 3

Vou usar a substituição que simplifica a parte composta \left(1+e^{-a t}\right). Defino
u = 1+e^{-a t}.
Agora calculo du usando a regra da cadeia (derivada de e^{-a t} é -a e^{-a t}):
\frac{du}{dt} = -a e^{-a t}\quad\Rightarrow\quad du = -a e^{-a t}\,dt.
Dessa igualdade isolo e^{-a t}\,dt:
e^{-a t}\,dt = -\frac{1}{a}\,du.

Passo 4

Substituo na integral inicial: \left(1+e^{-a t}\right)^{3/2} vira u^{3/2} e e^{-a t}\,dt vira -\dfrac{1}{a}\,du. Assim
\int \left(1+e^{-a t}\right)^{3/2} e^{-a t}\,dt = \int u^{3/2}\left(-\frac{1}{a}\,du\right) = -\frac{1}{a}\int u^{3/2}\,du.

Passo 5

Agora aplico a regra de potência para integrais: para n\neq -1,
\int u^{n}\,du = \frac{u^{n+1}}{n+1}.
Aqui n=\tfrac{3}{2}, logo
\int u^{3/2}\,du = \frac{u^{5/2}}{5/2} = \frac{2}{5}\,u^{5/2}.
Multiplicando pelo fator -\dfrac{1}{a} obtemos
-\frac{1}{a}\cdot\frac{2}{5}\,u^{5/2} = -\frac{2}{5a}\,u^{5/2} + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 6

Volto à variável original substituindo u=1+e^{-a t}:
-\frac{2}{5a}\left(1+e^{-a t}\right)^{5/2} + C.
Faço uma verificação rápida por derivação: derivando -\dfrac{2}{5a}(1+e^{-a t})^{5/2} obtém-se (1+e^{-a t})^{3/2}e^{-a t}, que é exatamente a integranda, então a primitiva está correta.

Resposta

-\dfrac{2}{5a}\left(1+e^{-a t}\right)^{5/2}+C

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