1. Determine os pontos de descontinuidade da função racional:
f(x)=\frac{x^{2}-x-2}{x^{2}-4}

Passo 1

O enunciado fornece a função racional
f(x)=\frac{x^{2}-x-2}{x^{2}-4}
e pede para determinar os pontos de descontinuidade dessa função.
Informações relevantes do enunciado:
  • A função é uma razão de polinômios: numerador x^{2}-x-2 e denominador x^{2}-4.
  • Pontos onde o denominador é zero tornam f indefinida (esses pontos são candidatos a descontinuidade).
  • O objetivo é encontrar todos esses pontos e classificá‑los (por exemplo: removível/“buraco” ou infinita/assíntota vertical).

Passo 2

Fatorar numerador e denominador — isso é a técnica básica para estudar descontinuidades de funções racionais.
Fatoração do numerador x^{2}-x-2. Procura‑se dois números cujo produto seja -2 (termo constante) e cuja soma seja -1 (coeficiente de x). Esses números são -2 e 1. Então:
x^{2}-x-2=(x-2)(x+1).
Fatoração do denominador x^{2}-4. Reconhece‑se uma diferença de quadrados: a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b) com a=x e b=2. Logo:
x^{2}-4=(x-2)(x+2).
Substituindo na função:
f(x)=\frac{(x-2)(x+1)}{(x-2)(x+2)}.
Para todo x tal que x\neq 2 podemos simplificar o fator comum (x-2), obtendo a forma equivalente (fora de x=2):
f(x)=\frac{x+1}{x+2},\qquad x\neq 2.
Explicação didática rápida: cancelar um fator comum é válido apenas para x para os quais esse fator não é zero; portanto a simplificação não “restaura” automaticamente o valor em x onde havíamos dividido por zero.

Passo 3

Determinar os pontos onde o denominador original é zero — esses são os pontos que precisam ser investigados:
x^{2}-4=0 \quad\Longrightarrow\quad (x-2)(x+2)=0
Logo os pontos são x=2 e x=-2. Assim, o domínio inicial de f é
\mathbb{R}\setminus\{2,-2\}.
Esses dois pontos são os únicos candidatos a descontinuidade. Agora vamos analisar cada um separadamente.

Passo 4

Análise em x=2.
  • No original, tanto numerador quanto denominador se anulam em x=2: x^{2}-x-2=0 e x^{2}-4=0 em x=2. Isso é a forma 0/0, que indica possibilidade de descontinuidade removível (mas é preciso confirmar o limite).
  • Usamos a expressão simplificada válida para x\neq2:
\lim_{x\to 2} f(x)=\lim_{x\to 2}\frac{x+1}{x+2}.
Essa é uma função contínua no entorno de 2 (exceto no próprio 2), então podemos avaliar por substituição:
\lim_{x\to 2} f(x)=\frac{2+1}{2+2}=\frac{3}{4}.
  • Conclusão para x=2: o limite existe e é finito, mas f(2) não está definida (denominador zero). Isso caracteriza uma descontinuidade removível (um “buraco”): se definíssemos f(2)=\tfrac{3}{4}, a função ficaria contínua em 2.

Passo 5

Análise em x=-2.
  • Avaliar numerador e denominador em x=-2:
\text{numerador: }x^{2}-x-2\Big|_{x=-2}=4+2-2=4\neq 0,
\text{denominador: }x^{2}-4\Big|_{x=-2}=4-4=0.
Portanto temos a forma \dfrac{\text{não nulo}}{0}ã, o que tipicamente leva a uma descontinuidade do tipo infinita (assíntota vertical). Vamos ver os limites laterais na expressão simplificada \dfrac{x+1}{x+2} (válida para x\neq -2 também):
Estudo do sinal ao aproximar x de -2:
  • Para x\to -2^{-} (pela esquerda): x+1 é aproximadamente -1 (negativo) e x+2 é um número muito pequeno e negativo; negativo dividido por negativo é positivo, portanto
\lim_{x\to -2^{-}} f(x)=+\infty.
  • Para x\to -2^{+} (pela direita): x+1 é aproximadamente -1 (negativo) e x+2 é um número muito pequeno e positivo; negativo dividido por positivo é negativo, portanto
\lim_{x\to -2^{+}} f(x)=-\infty.
Como as duas limites laterais tendem para sinais opostos de infinito, o limite em x=-2 não existe como número real e há uma assíntota vertical em x=-2. Isso classifica x=-2 como descontinuidade do tipo infinita (essencial/vertical).

Passo 6

Resumo interpretativo e como fazer isso rápido na prova (dica amiga):
  • Passo a passo prático: fatorar numerador e denominador, achar raízes do denominador (pontos a investigar), ver se algum desses pontos também zera o numerador (cancelamento possível).
  • Se em um ponto ambos zera(m) e o limite for finito → descontinuidade removível (buraco).
  • Se denominador zera e numerador não → descontinuidade infinita (assíntota vertical).
  • Aqui: cancelamento em x=2 → buraco; em x=-2 sem cancelamento → assíntota vertical.

Resposta

x=2 (descontinuidade removível, limite \tfrac{3}{4})
x=-2 (descontinuidade infinita / assíntota vertical)

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