Calcular as integrais:
\int \frac{x^{5}+2 x{2}-1}{x{4}} d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral indefinida
\int \frac{x^{5}+2 x^{2}-1}{x^{4}}\,dx.
Informações dadas e observações imediatas:
  • A variável de integração é x.
  • A expressão é uma razão de polinômios; a integral é indefinida (portanto deve aparecer uma constante de integração).
  • A função está definida para x\neq0 (pois há divisão por x^{4}).

Passo 2

Primeiro simplificamos a integranda dividindo cada termo por x^{4}. Fazendo termo a termo:
\frac{x^{5}}{x^{4}}=x,\qquad \frac{2x^{2}}{x^{4}}=2x^{-2},\qquad \frac{-1}{x^{4}}=-x^{-4}.
Portanto a integral fica
\int \frac{x^{5}+2 x^{2}-1}{x^{4}}\,dx=\int\bigl(x+2x^{-2}-x^{-4}\bigr)\,dx.

Passo 3

Vamos usar a regra de potência para integrais. A regra diz:
\text{Para }n\neq-1:\qquad \int x^{n}\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C,
onde C é a constante de integração. (Essa fórmula vem do fato de que, ao derivar \dfrac{x^{n+1}}{n+1} obtém‑se x^{n}.)
Observação: o caso n=-1 é especial e dá \int x^{-1}\,dx=\ln|x|+C, mas aqui não aparece x^{-1}.

Passo 4

Aplicamos a regra termo a termo à integral \int\bigl(x+2x^{-2}-x^{-4}\bigr)\,dx.
  1. Para \int x\,dx: aqui n=1, então
\int x\,dx=\frac{x^{2}}{2}.
  1. Para \int 2x^{-2}\,dx: fatoramos a constante 2 e usamos n=-2,
\int 2x^{-2}\,dx=2\int x^{-2}\,dx=2\cdot\frac{x^{-1}}{-1}=-2x^{-1}.
  1. Para \int -x^{-4}\,dx: tiramos o sinal e usamos n=-4,
\int -x^{-4}\,dx=-\int x^{-4}\,dx=-\frac{x^{-3}}{-3}=\frac{x^{-3}}{3}.
Somando os três resultados e acrescentando a constante C, obtemos a antiderivada:
\frac{x^{2}}{2}-2x^{-1}+\frac{x^{-3}}{3}+C.

Passo 5

Podemos reescrever em forma de frações para ficar mais ‘limpo’:
\frac{x^{2}}{2}-\frac{2}{x}+\frac{1}{3x^{3}}+C.
Lembre-se: a integral está válida para x\neq0 e C é a constante de integração. Força nos estudos — você já fez a parte difícil que é entender cada passo!

Resposta

\displaystyle \frac{x^{2}}{2}-\frac{2}{x}+\frac{1}{3x^{3}}+C

Exercícios relacionados