Calcular as integrais:
\int \frac{x^{5}+2 x{2}-1}{x{4}} d x
\int \frac{x^{5}+2 x{2}-1}{x{4}} d x
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral indefinida
Informações dadas e observações imediatas:
- A variável de integração é
. - A expressão é uma razão de polinômios; a integral é indefinida (portanto deve aparecer uma constante de integração).
- A função está definida para
(pois há divisão por ).
Passo 2
Primeiro simplificamos a integranda dividindo cada termo por
. Fazendo termo a termo:
Portanto a integral fica
Passo 3
Vamos usar a regra de potência para integrais. A regra diz:
onde
é a constante de integração. (Essa fórmula vem do fato de que, ao derivar
obtém‑se
.)
Observação: o caso é especial e dá
, mas aqui não aparece
.
Observação: o caso
Passo 4
Aplicamos a regra termo a termo à integral
.
- Para
: aqui , então
- Para
: fatoramos a constante e usamos ,
- Para
: tiramos o sinal e usamos ,
Somando os três resultados e acrescentando a constante
, obtemos a antiderivada:
Passo 5
Podemos reescrever em forma de frações para ficar mais ‘limpo’:
Lembre-se: a integral está válida para
e
é a constante de integração. Força nos estudos — você já fez a parte difícil que é entender cada passo!