Faça o que se pede:
(b) \left(f^{-1}\right)^{\prime}(3), se f(x)=x^{3}-2 x^{2}+x+1.

Passo 1

O enunciado dá a função f e pede a derivada da função inversa em um ponto:
  • Função fornecida: f(x)=x^{3}-2x^{2}+x+1.
  • O que se pede: calcular \left(f^{-1}\right)^{\prime}(3), isto é, a derivada da inversa de f avaliada em 3.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Preciso encontrar o valor de f^{-1} em 3, ou seja o x tal que f(x)=3.
  • Preciso calcular a derivada de f e usá‑la para obter a derivada da inversa no ponto pedido.

Passo 2

Entender a fórmula útil: como se calcula a derivada de uma função inversa?
Explicação didática da fórmula (cadeia e definição):
  • Seja y=f(x) e suponha que f é invertível localmente, então a função inversa satisfaz f(f^{-1}(y))=y para valores y no domínio da inversa.
  • Diferenciando ambos os lados em relação a y (usando a regra da cadeia), obtemos
f'\bigl(f^{-1}(y)\bigr)\cdot\left(f^{-1}\right)'(y)=1.
Aqui:
  • f' é a derivada de f em relação a sua variável;
  • f^{-1} é a inversa de f;
  • \left(f^{-1}\right)'(y) é a derivada buscada, ou seja a derivada da inversa em y.
  • Isolando \left(f^{-1}\right)'(y), temos a fórmula padrão
\left(f^{-1}\right)'(y)=\frac{1}{f'\bigl(f^{-1}(y)\bigr)}.
Comentário simples sobre por que faz sentido: a variação de x=f^{-1}(y) quando y varia é o recíproco da razão de variação de y em relação a x; a fórmula acima é a expressão formal desse recíproco pela regra da cadeia.

Passo 3

Aplicar a fórmula ao caso concreto y=3. Pela fórmula,
\left(f^{-1}\right)'(3)=\frac{1}{f'\bigl(f^{-1}(3)\bigr)}.
Ou seja, preciso de dois ingredientes:
  1. o valor f^{-1}(3), isto é o x tal que f(x)=3;
  2. a derivada f'(x) avaliada nesse x.

Passo 4

Encontrar f^{-1}(3) resolvendo f(x)=3. Escrevo a equação:
x^{3}-2x^{2}+x+1=3.
Subtraindo 3 de ambos os lados:
x^{3}-2x^{2}+x-2=0.
Agora preciso achar as raízes desse polinômio cúbico. Testo raízes inteiras possíveis (divisores de 2): \pm1,\pm2.
Verificando x=2:
2^{3}-2\cdot2^{2}+2-2=8-8+2-2=0.
Logo x=2 é uma raiz real. Isso significa que f(2)=3, então f^{-1}(3)=2.
Para fins de completude, faço a fatoração do polinômio pelo fator (x-2). Dividindo
x^{3}-2x^{2}+x-2 = (x-2)\bigl(x^{2}+0x+1\bigr) = (x-2)(x^{2}+1).
As outras duas raízes são complexas \pm i, então a única raiz real é x=2. Portanto o valor relevante para a inversa é
f^{-1}(3)=2.

Passo 5

Calcular a derivada f'(x). Derivando termo a termo:
f(x)=x^{3}-2x^{2}+x+1
\Rightarrow f'(x)=3x^{2}-4x+1.
Aqui expliquei cada termo: a derivada de x^{3} é 3x^{2}; a derivada de -2x^{2} é -4x; a derivada de x é 1; a derivada de constante é 0.

Passo 6

Avaliar f'(x) no ponto x=f^{-1}(3)=2:
f'(2)=3\cdot 2^{2}-4\cdot 2+1.
Calculo passo a passo:
2^{2}=4,
3\cdot 4=12,
4\cdot 2=8,
12-8+1=5.
Portanto f'(2)=5.

Passo 7

Usar a fórmula da derivada da inversa com os valores que obtivemos:
\left(f^{-1}\right)'(3)=\frac{1}{f'(f^{-1}(3))}=\frac{1}{f'(2)}=\frac{1}{5}.

Resposta

\dfrac{1}{5}

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