Faça o que se pede:
(b)
, se
.
(b)
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede a derivada da função inversa em um ponto:
- Função fornecida:
. - O que se pede: calcular
, isto é, a derivada da inversa de avaliada em .
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- Preciso encontrar o valor de
em , ou seja o tal que . - Preciso calcular a derivada de
e usá‑la para obter a derivada da inversa no ponto pedido.
Passo 2
Entender a fórmula útil: como se calcula a derivada de uma função inversa?
Explicação didática da fórmula (cadeia e definição):
- Seja
e suponha que é invertível localmente, então a função inversa satisfaz para valores no domínio da inversa. - Diferenciando ambos os lados em relação a
(usando a regra da cadeia), obtemos
Aqui:
-
é a derivada de em relação a sua variável; -
é a inversa de ; -
é a derivada buscada, ou seja a derivada da inversa em . - Isolando
, temos a fórmula padrão
Comentário simples sobre por que faz sentido: a variação de
quando
varia é o recíproco da razão de variação de
em relação a
; a fórmula acima é a expressão formal desse recíproco pela regra da cadeia.
Passo 3
Aplicar a fórmula ao caso concreto
. Pela fórmula,
Ou seja, preciso de dois ingredientes:
- o valor
, isto é o tal que ; - a derivada
avaliada nesse .
Passo 4
Encontrar
resolvendo
. Escrevo a equação:
Subtraindo
de ambos os lados:
Agora preciso achar as raízes desse polinômio cúbico. Testo raízes inteiras possíveis (divisores de
):
.
Verificando
:
Logo
é uma raiz real. Isso significa que
, então
.
Para fins de completude, faço a fatoração do polinômio pelo fator
. Dividindo
As outras duas raízes são complexas
, então a única raiz real é
. Portanto o valor relevante para a inversa é
Passo 5
Calcular a derivada
. Derivando termo a termo:
Aqui expliquei cada termo: a derivada de
é
; a derivada de
é
; a derivada de
é
; a derivada de constante é
.
Passo 6
Avaliar
no ponto
:
Calculo passo a passo:
Portanto
.
Passo 7
Usar a fórmula da derivada da inversa com os valores que obtivemos: