4^{\underline{\mathbf{a}}} Questão: ( 40 pontos) Seja f uma função dada por f(x)=\frac{x^{2}}{x-2}. Determine:
a) ( 2 pontos) O domínio de f.
b) ( \mathbf{5} pontos) Mostre que f^{\prime}(x)=\frac{x^{2}-4 x}{(x-2)^{2}}.
c) ( \mathbf{5} pontos) Os intervalos onde f é crescente e onde f é decrescente.
d) ( \mathbf{5} pontos) Os pontos críticos de f, caso existam.
e) (5 pontos) Sabendo que f^{\prime \prime}(x)=\frac{8}{(x-2)^{3}}. Os intervalos onde f é côncava para cima e côncava para baixo.
f) ( 4 pontos) Os pontos de inflexão do gráfico de f. caso existam.
g) ( \mathbf{3} pontos) As assíntotas horizontais ao gráfico de f, caso existam.
h) ( \mathbf{3} pontos) As assíntotas verticais ao gráfico de f, caso existam.
i) ( \mathbf{8} pontos) Fazer um esboço do gráfico de f.

Passo 1

O enunciado dá a função f definida por f(x)=\dfrac{x^{2}}{x-2} e pede várias informações. Vou listar claramente o que é pedido e quais informações temos:
  • Pedido (a): determinar o domínio de f.
  • Pedido (b): mostrar que f'(x)=\dfrac{x^{2}-4x}{(x-2)^{2}}.
  • Pedido (c): determinar os intervalos onde f é crescente e onde é decrescente.
  • Pedido (d): encontrar os pontos críticos de f, se existirem.
  • Pedido (e): usando f''(x)=\dfrac{8}{(x-2)^{3}}, determinar os intervalos onde f é côncava para cima e para baixo.
  • Pedido (f): encontrar pontos de inflexão do gráfico de f, se existirem.
  • Pedido (g): assíntotas horizontais ao gráfico de f, se existirem.
  • Pedido (h): assíntotas verticais ao gráfico de f, se existirem.
  • Pedido (i): fazer um esboço do gráfico de f.
Informações relevantes dadas no enunciado:
  • A função é f(x)=\dfrac{x^{2}}{x-2}.
  • Foi fornecida a segunda derivada f''(x)=\dfrac{8}{(x-2)^{3}} (vamos usá-la no item (e)).
  • Nada mais foi fornecido graficamente.

Passo 2

Determinar o domínio de f.
Explicação: o domínio de uma função racional \dfrac{p(x)}{q(x)} são todos os reais para os quais o denominador q(x) é diferente de zero. Aqui o denominador é x-2.
  • Impor x-2\neq 0 x\neq 2.
Portanto o domínio é todos os reais exceto 2.
Em forma matemática: o domínio é \{x\in\mathbb{R}\mid x\neq 2\}, isto é, (-\infty,2)\cup(2,\infty).

Passo 3

Calcular e mostrar a fórmula para f'(x) (pedido (b)). Vou usar a regra do quociente e explicar certinho.
Relembrando a regra do quociente: se g(x)=\dfrac{u(x)}{v(x)} com u e v diferenciáveis e v(x)\neq 0, então
g'(x)=\frac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{[v(x)]^{2}}.
Aqui u(x)=x^{2} e v(x)=x-2. Então u'(x)=2x e v'(x)=1.
Aplicando a regra do quociente:
f'(x)=\frac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{[v(x)]^{2}} =\frac{(2x)(x-2)-x^{2}\cdot 1}{(x-2)^{2}}.
Agora desenvolvo o numerador passo a passo:
(2x)(x-2)-x^{2}=2x^{2}-4x-x^{2}=x^{2}-4x.
Portanto
f'(x)=\frac{x^{2}-4x}{(x-2)^{2}},
como solicitado.

Passo 4

Encontrar os pontos críticos (pedido (d)) e interpretar o que são pontos críticos.
Definição prática: um ponto crítico é um x do domínio onde f'(x)=0 ou onde f' não existe. Importante: o ponto crítico deve estar no domínio da função.
  • Primeiro, onde f'(x)=0? Isso ocorre quando o numerador é zero (pois o denominador (x-2)^{2}>0 para x\neq2):
x^{2}-4x=0 \quad\Rightarrow\quad x(x-4)=0.
Assim x=0 ou x=4.
  • Agora verificar se f' não existe em pontos do domínio: f' tem denominador (x-2)^{2}, que é zero em x=2. No entanto x=2 não pertence ao domínio de f (Passo 2), então não é ponto crítico da função f (é sim uma descontinuidade vertical).
Concluímos que os pontos críticos são x=0 e x=4. Para cada um, podemos dar o ponto na forma (x,f(x)):
f(0)=\frac{0^{2}}{0-2}=0,\qquad f(4)=\frac{4^{2}}{4-2}=\frac{16}{2}=8.
Logo os pontos críticos são (0,0) e (4,8).

Passo 5

Determinar os intervalos de crescimento e decrescimento (pedido (c)). Vou analisar o sinal de f'(x) e explicar a técnica de sinal.
Temos
f'(x)=\frac{x^{2}-4x}{(x-2)^{2}}=\frac{x(x-4)}{(x-2)^{2}}.
Observações úteis:
  • O denominador (x-2)^{2} é sempre positivo para todo x\neq 2. Portanto o sinal de f'(x) é o mesmo sinal do numerador x(x-4).
  • Analisamos o sinal de x(x-4) dividindo a reta em intervalos pelos zeros x=0 e x=4 (e também consideramos o ponto excluído x=2).
Faço a tabela de sinais mentalmente:
  • Para x<0: x<0 e x-4<0 então x(x-4)>0. Logo f'(x)>0 em (-\infty,0).
  • Para 0<x<4: aqui x>0 e x-4<0 então x(x-4)<0. Logo f'(x)<0 em (0,4). Note que em (0,4) há o ponto x=2 onde a função não existe; portanto devemos separar em (0,2) e (2,4).
    • Em (0,2): f'(x)<0 (decrescente).
    • Em (2,4): f'(x)<0 (decrescente).
  • Para x>4: x>0 e x-4>0 então x(x-4)>0. Logo f'(x)>0 em (4,\infty).
Conclusão:
  • f é crescente em (-\infty,0) e em (4,\infty).
  • f é decrescente em (0,2) e em (2,4).
Comentários sobre extremos locais (útil para o esboço): em x=0 a derivada muda de positiva para negativa, portanto há um máximo local em (0,0). Em x=4 a derivada muda de negativa para positiva, portanto há um mínimo local em (4,8).

Passo 6

Determinar a concavidade usando f''(x)=\dfrac{8}{(x-2)^{3}} (pedido (e)). Explico a relação entre f'' e concavidade.
Regra: se f''(x)>0 num intervalo então f é côncava para cima nesse intervalo; se f''(x)<0 então f é côncava para baixo.
Analisando o sinal de f''(x)=\dfrac{8}{(x-2)^{3}}:
  • O numerador 8>0 é positivo.
  • O sinal depende do denominador (x-2)^{3}, cuja paridade é ímpar, então tem mesmo sinal de x-2.
Portanto:
  • Se x-2>0 (ou seja x>2), então (x-2)^{3}>0 e f''(x)>0. Então f é côncava para cima em (2,\infty).
  • Se x-2<0 (ou seja x<2), então (x-2)^{3}<0 e f''(x)<0. Então f é côncava para baixo em (-\infty,2).
Resumo:
  • Côncava para baixo em (-\infty,2).
  • Côncava para cima em (2,\infty).

Passo 7

Determinar os pontos de inflexão (pedido (f)).
Definição prática: um ponto de inflexão é um ponto x_{0} do domínio onde a concavidade muda (de cima para baixo ou vice-versa). Geralmente ocorre onde f''(x_{0})=0 ou f'' é indefinida, mas o requisito essencial é que f esteja definida em x_{0} e que a concavidade mude passando por x_{0}.
Aqui f''(x)=\dfrac{8}{(x-2)^{3}} nunca é zero para nenhum x (numerador constante 8). Há uma mudança de sinal de f'' ao passar por x=2 (de negativo para positivo), mas x=2 NÃO pertence ao domínio de f (Passo 2). Como x=2 não é um ponto do gráfico de f, não pode ser um ponto de inflexão.
Conclusão: não existem pontos de inflexão no domínio de f.

Passo 8

Determinar assíntotas horizontais (pedido (g)). Vou fazer a divisão de polinômios para ver o comportamento para x\to\pm\infty.
Fazer divisão de x^{2} por x-2:
\frac{x^{2}}{x-2}=x+2+\frac{4}{x-2}.
Explicando: (x-2)(x+2)=x^{2}-4, subtraindo de x^{2} sobra 4.
Assim
f(x)=x+2+\frac{4}{x-2}.
Para x\to\pm\infty a fração \dfrac{4}{x-2}\to 0, então f(x)\sim x+2. Portanto não há assíntota horizontal (a função cresce sem limite), mas existe uma assíntota oblíqua (reta inclinada) dada por
y=x+2.
Portanto:
  • Assíntota horizontal: nenhuma.
  • Assíntota oblíqua (ou inclinada): y=x+2.

Passo 9

Determinar assíntotas verticais (pedido (h)) e descrever o comportamento próximo a elas.
O denominador zero em x=2 causa uma descontinuidade vertical. Usando a forma dividida f(x)=x+2+\dfrac{4}{x-2}, o comportamento próximo a x=2 é dominado por \dfrac{4}{x-2}:
  • Quando x\to 2^{-} temos x-2<0 pequeno, então \dfrac{4}{x-2}\to -\infty, logo f(x)\to -\infty.
  • Quando x\to 2^{+} temos x-2>0 pequeno, então \dfrac{4}{x-2}\to +\infty, logo f(x)\to +\infty.
Conclusão:
  • Há uma assíntota vertical em x=2.

Passo 10

Esboço do gráfico de f (pedido (i)). Vou descrever passo a passo como desenhar e o que o gráfico apresenta; listei também os pontos importantes para o desenho.
Pontos e retas úteis já obtidos:
  • Domínio: x\neq 2. Haverá uma quebra vertical em x=2.
  • Interseções:
    • Interseção com o eixo y (quando x=0): f(0)=0. Então o ponto (0,0) pertence ao gráfico.
    • Interseção com o eixo x idem: (0,0).
  • Pontos críticos: (0,0) (máximo local) e (4,8) (mínimo local).
  • Assíntotas:
    • Vertical: x=2.
    • Oblíqua: y=x+2.
  • Crescimento/decrescimento:
    • Crescente em (-\infty,0) e (4,\infty).
    • Decrescente em (0,2) e (2,4).
  • Concavidade:
    • Côncava para baixo em (-\infty,2).
    • Côncava para cima em (2,\infty).
  • Comportamento perto de x=2:
    • x\to 2^{-}: f(x)\to -\infty.
    • x\to 2^{+}: f(x)\to +\infty.
  • Comportamento para grandes |x|:
    • f(x)\approx x+2, então o gráfico se aproxima da reta y=x+2 à medida que |x|\to\infty.
Como esboçar, passo a passo:
  1. Desenhar os eixos x e y. Marcar a linha vertical tracejada x=2 (assíntota vertical) e a reta tracejada y=x+2 (assíntota oblíqua).
  2. Marcar o ponto (0,0) e o ponto (4,8).
  3. No intervalo (-\infty,0): a função é crescente e côncava para baixo, aproximando-se da reta y=x+2 à esquerda. Então desenhar um ramo que vem da reta y=x+2 quando x\to -\infty, sobe com concavidade para baixo até (0,0).
  4. Em (0,2): a função é decrescente e côncava para baixo, e tende a -\infty conforme x\to 2^{-}. Assim o ramo desce de (0,0) até cair para -\infty ao aproximar 2 pela esquerda.
  5. Em (2,4): a função vem de +\infty (quando x\to 2^{+}), é decrescente e côncava para cima neste intervalo; desenhar o ramo que desce de +\infty até o mínimo em (4,8).
  6. Em (4,\infty): a função é crescente e côncava para cima, e aproxima-se da reta y=x+2 quando x\to\infty. Desenhar o ramo subindo e se aproximando da reta oblíqua.
Observações finais (visuais):
  • (0,0) é um máximo local (chega por cima e depois desce).
  • (4,8) é um mínimo local.
  • O gráfico tem dois ramos desconectados separados pela assíntota vertical x=2.
  • Em cada ramo o comportamento assintótico para x\to\pm\infty segue a reta y=x+2.
Com essas instruções você consegue traçar um esboço razoável e marcar todos os elementos pedidos.

Resposta

(a) (-\infty,2)\cup(2,\infty).
(b) f'(x)=\dfrac{x^{2}-4x}{(x-2)^{2}}.
(c) f é crescente em (-\infty,0) e em (4,\infty); f é decrescente em (0,2) e em (2,4).
(d) Pontos críticos: (0,0) e (4,8).
(e) f é côncava para baixo em (-\infty,2) e côncava para cima em (2,\infty).
(f) Não existem pontos de inflexão no domínio de f.
(g) Não há assíntotas horizontais. Assíntota oblíqua: y=x+2.
(h) Assíntota vertical: x=2.
(i) Esboço: dois ramos separados pela assíntota vertical x=2; ramo esquerdo crescente e côncavo para baixo aproximando-se de y=x+2 quando x\to-\infty e passando por (0,0), caindo para -\infty em x\to2^{-}; ramo direito vindo de +\infty em x\to2^{+}, decrescente até o mínimo (4,8), depois crescente e côncavo para cima aproximando-se de y=x+2 quando x\to\infty.

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