Calcular as integrais.
\int_{0}^{4}\left|x^{2}-3 x+2\right| d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral definida
\int_{0}^{4}\left|x^{2}-3x+2\right|\,dx.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
\text{limites de integração: } 0 \text{ e } 4,çã
\text{integrando: } \left|x^{2}-3x+2\right|.
Não faço mais nada neste passo além de deixar claro o que é pedido e o que temos.

Passo 2

Primeiro passo para integrar uma função com valor absoluto: achar onde o polinômio dentro do módulo é zero, porque nesses pontos a expressão muda de sinal. Resolvemos
x^{2}-3x+2=0.
Fatorando:
x^{2}-3x+2=(x-1)(x-2).
Portanto as raízes são
x=1\quad\text{e}\quad x=2.
Essas raízes dividem o intervalo [0,4] em três subintervalos: [0,1], [1,2] e [2,4].

Passo 3

Agora determinamos o sinal de x^{2}-3x+2 em cada subintervalo escolhendo pontos testes:
  • Em x=0{,}5 (no intervalo [0,1]):
(0{,}5)^{2}-3(0{,}5)+2=0{,}25-1{,}5+2=0{,}75>0.
Logo o polinômio é positivo em [0,1).
  • Em x=1{,}5 (no intervalo [1,2]):
(1{,}5)^{2}-3(1{,}5)+2=2{,}25-4{,}5+2=-0{,}25<0.
Logo é negativo em (1,2).
  • Em x=3 (no intervalo [2,4]):
3^{2}-3\cdot3+2=9-9+2=2>0.
Logo é positivo em (2,4].
Portanto:
\left|x^{2}-3x+2\right|= \begin{cases} x^{2}-3x+2, & x\in[0,1]\cup[2,4],\\[4pt] -(x^{2}-3x+2), & x\in[1,2]. \end{cases}]

Passo 4

Usando a informação do passo anterior, escrevemos a integral como soma de integrais sem o valor absoluto:
\int_{0}^{4}\left|x^{2}-3x+2\right|\,dx = \int_{0}^{1}\left(x^{2}-3x+2\right)\,dx - \int_{1}^{2}\left(x^{2}-3x+2\right)\,dx + \int_{2}^{4}\left(x^{2}-3x+2\right)\,dx.
(Observe que no segundo termo aparece o sinal negativo porque ali o polinômio é negativo.)

Passo 5

Agora precisamos de uma primitiva (antiderivada) de x^{2}-3x+2. Lembrete rápido de cálculo: para n\neq -1,
\int x^{n}\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C.
Aplicando termo a termo:
\int x^{2}\,dx=\frac{x^{3}}{3},\quad \int (-3x)\,dx=-\frac{3x^{2}}{2},\quad \int 2\,dx=2x.
Assim uma primitiva é
F(x)=\frac{x^{3}}{3}-\frac{3x^{2}}{2}+2x.
Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, a integral definida \int_{a}^{b} f(x)\,dx=F(b)-F(a).

Passo 6

Calculamos cada termo usando F(x).
  1. Primeiro termo:
\int_{0}^{1}\left(x^{2}-3x+2\right)\,dx=F(1)-F(0).
Calculando F(1) e F(0):
F(1)=\frac{1^{3}}{3}-\frac{3\cdot1^{2}}{2}+2\cdot1=\frac{1}{3}-\frac{3}{2}+2=\frac{5}{6},
F(0)=0.
Logo
\int_{0}^{1}\left(x^{2}-3x+2\right)\,dx=\frac{5}{6}.

Passo 7

  1. Segundo termo (lembrando o sinal negativo da decomposição):
-\int_{1}^{2}\left(x^{2}-3x+2\right)\,dx=-(F(2)-F(1))=F(1)-F(2).
Calculamos F(2):
F(2)=\frac{2^{3}}{3}-\frac{3\cdot2^{2}}{2}+2\cdot2=\frac{8}{3}-6+4=\frac{8}{3}-2=\frac{2}{3}.
Portanto
F(1)-F(2)=\frac{5}{6}-\frac{2}{3}=\frac{5}{6}-\frac{4}{6}=\frac{1}{6}.
Então o segundo termo vale \frac{1}{6}.

Passo 8

  1. Terceiro termo:
\int_{2}^{4}\left(x^{2}-3x+2\right)\,dx=F(4)-F(2).
Calculamos F(4):
F(4)=\frac{4^{3}}{3}-\frac{3\cdot4^{2}}{2}+2\cdot4=\frac{64}{3}-24+8=\frac{64}{3}-16=\frac{16}{3}.
Já sabemos F(2)=\frac{2}{3}. Então
F(4)-F(2)=\frac{16}{3}-\frac{2}{3}=\frac{14}{3}.

Passo 9

Somamos os três resultados:
\int_{0}^{4}\left|x^{2}-3x+2\right|\,dx =\frac{5}{6}+\frac{1}{6}+\frac{14}{3}.
Primeiro somamos os dois primeiros termos:
\frac{5}{6}+\frac{1}{6}= \frac{6}{6}=1.
Então
1+\frac{14}{3}=\frac{3}{3}+\frac{14}{3}=\frac{17}{3}.

Resposta

\displaystyle \frac{17}{3}

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