Questão 4. Sejam
anéis comutativos
ideais. Em
considere as operações usuais
e
Mostre que
é um ideal em
e que
Passo 1
O enunciado dá: anéis comutativos
e ideais
. No produto cartesiano usamos as operações coordenada a coordenada,
e
O que nos pedem:
- Mostrar que
é um ideal do anel . - Mostrar que
Informações relevantes fornecidas: cada
é ideal em
; as operações no produto são coordenada a coordenada. Não há outras hipóteses (por ex. unidade, nem suposições extras sobre maximalidade).
Passo 2
Vou lembrar a definição de ideal e um teorema útil (vou explicar cada termo): em um anel comutativo
, um subconjunto
é ideal se e somente se:
-
é não vazio (pelo menos contém ); -
é fechado sob subtração: se então ; -
é absorvente por multiplos do anel: se e então .
Também usarei o Teorema do Isomorfismo (primeiro teorema do isomorfismo) para anéis: se
é um homomorfismo de anéis sobrejetor, então
Aqui
. Vou construir um homomorfismo natural do produto
para
e aplicar esse teorema.
Passo 3
Provar que
é ideal do anel
.
Seja um elemento genérico de
denotado por
-
Não vazio: como cada
contém , o elemento pertence a . Logo . -
Fechamento sob subtração: tomemos
e . Então para cada temos . Como é ideal em , ele é fechado sob subtração, logo . Portanto
Assim
é fechado sob subtração.
- Absorção por multiplicação por elementos de
: seja e . Multiplicando coordenada a coordenada,
Como
e
é ideal em
, temos
para todo
. Assim
.
Como
satisfaz as três propriedades, concluímos que
é um ideal de
.
Dica prática para a prova na prova: mostrar essas três propriedades é direto e mecânico — escreva um elemento genérico do produto e trabalhe coordenada a coordenada.
Passo 4
Construção do homomorfismo natural. Definimos
por
Aqui
é a classe (coset) de
em
. Vou verificar que
é um homomorfismo de anéis (respeita soma e produto).
Verificação da aditividade: tomemos
e
. Então
Mas nas componentes de quociente temos
. Então
Verificação da multiplicatividade: de modo análogo,
e em cada coordenada
. Portanto
Logo
é homomorfismo de anéis. Observação: a definição é “coordenada a coordenada” e por isso é bem natural.
Passo 5
Surjetividade de
.
Tomemos um elemento arbitrário do produto de quocientes:
onde
para algum representante
. Então
Assim qualquer tupla de classes tem um pré-imagem óbvia: a tupla dos representantes. Logo
é sobrejetora.
Passo 6
Cálculo do núcleo de
e identificação com
.
Pela definição do núcleo,
onde
aqui representa a classe zero em
. Isto equivale a dizer que para cada
temos
, ou seja,
. Portanto
Mostrei ambas as inclusões: se
então cada
; e se
então
. Logo
.
Importante: essa igualdade também explica de outra forma por que
é ideal — núcleo de homomorfismo é sempre ideal.
Passo 7
Aplicação do Primeiro Teorema do Isomorfismo.
Como
é homomorfismo sobrejetor e
, pelo Teorema do Isomorfismo para anéis temos
Isso é exatamente a isomorfia pedida. O isomorfismo é dado explicitamente pela classe
Essa regra é bem definida e bijetiva porque foi construída a partir de
e da identificação do núcleo.
Passo 8
Exemplo concreto rápido para fixar a ideia: para
,
,
,
, obtemos
Intuitivamente: reduzir cada coordenada módulo o seu ideal é a operação que dá o isomorfismo.