Questão 4. Sejam A_{1}, A_{2}, \ldots A_{n} anéis comutativos I_{1} \subset A_{1}, I_{2} \subset A_{2}, \ldots, I_{n} \subset A_{n} ideais. Em A_{1} \times A_{2} \times \cdots \times A_{n} considere as operações usuais
\left(a_{1}, \ldots, a_{n}\right)+\left(b_{1}, \ldots, b_{n}\right)=\left(a_{1}+b_{1}, \ldots, a_{n}+b_{n}\right)
e
\left(a_{1}, \ldots, a_{n}\right) \cdot\left(b_{1}, \ldots, b_{n}\right)=\left(a_{1} b_{1}, \ldots, a_{n} b_{n}\right) .
Mostre que I_{1} \times I_{2} \times \cdots \times I_{n} é um ideal em A_{1} \times A_{2} \times \cdots \times A_{n} e que
\frac{A_{1} \times A_{2} \times \cdots \times A_{n}}{I_{1} \times I_{2} \times \cdots \times I_{n}} \simeq \frac{A_{1}}{I_{1}} \times \frac{A_{2}}{I_{2}} \times \cdots \times \frac{A_{n}}{I_{n}}

Passo 1

O enunciado dá: anéis comutativos \,A_{1},A_{2},\ldots,A_{n}\, e ideais \,I_{1}\subset A_{1}, I_{2}\subset A_{2},\ldots,I_{n}\subset A_{n}\,. No produto cartesiano usamos as operações coordenada a coordenada,
(a_{1},\ldots,a_{n})+(b_{1},\ldots,b_{n})=(a_{1}+b_{1},\ldots,a_{n}+b_{n})
e
(a_{1},\ldots,a_{n})\cdot(b_{1},\ldots,b_{n})=(a_{1}b_{1},\ldots,a_{n}b_{n}).
O que nos pedem:
  1. Mostrar que \,I_{1}\times I_{2}\times\cdots\times I_{n}\, é um ideal do anel \,A_{1}\times\cdots\times A_{n}\,.
  2. Mostrar que
\frac{A_{1}\times\cdots\times A_{n}}{I_{1}\times\cdots\times I_{n}}\simeq\frac{A_{1}}{I_{1}}\times\cdots\times\frac{A_{n}}{I_{n}}.
Informações relevantes fornecidas: cada I_{k} é ideal em A_{k}; as operações no produto são coordenada a coordenada. Não há outras hipóteses (por ex. unidade, nem suposições extras sobre maximalidade).

Passo 2

Vou lembrar a definição de ideal e um teorema útil (vou explicar cada termo): em um anel comutativo R, um subconjunto J\subset R é ideal se e somente se:
  • J é não vazio (pelo menos contém 0);
  • J é fechado sob subtração: se x,y\in J então x-y\in J;
  • J é absorvente por multiplos do anel: se r\in R e x\in J então r x\in J.
Também usarei o Teorema do Isomorfismo (primeiro teorema do isomorfismo) para anéis: se \varphi\colon R\to S é um homomorfismo de anéis sobrejetor, então
R/\ker\varphi \simeq S.
Aqui \ker\varphi=\{r\in R\mid \varphi(r)=0_S\}. Vou construir um homomorfismo natural do produto \,A_{1}\times\cdots\times A_{n}\, para \,A_{1}/I_{1}\times\cdots\times A_{n}/I_{n}\, e aplicar esse teorema.

Passo 3

Provar que \,I:=I_{1}\times\cdots\times I_{n}\, é ideal do anel A:=A_{1}\times\cdots\times A_{n}.
Seja um elemento genérico de I denotado por
x=(x_{1},x_{2},\ldots,x_{n}),\quad\text{com }x_{k}\in I_{k}\text{ para todo }k.
  1. Não vazio: como cada I_{k} contém 0\in A_{k}, o elemento 0_A=(0,\ldots,0) pertence a I. Logo I\neq\varnothing.
  2. Fechamento sob subtração: tomemos x=(x_{1},\ldots,x_{n})\in I e y=(y_{1},\ldots,y_{n})\in I. Então para cada k temos x_{k},y_{k}\in I_{k}. Como I_{k} é ideal em A_{k}, ele é fechado sob subtração, logo x_{k}-y_{k}\in I_{k}. Portanto
x-y=(x_{1}-y_{1},\ldots,x_{n}-y_{n})\in I_{1}\times\cdots\times I_{n}=I.
Assim I é fechado sob subtração.
  1. Absorção por multiplicação por elementos de A: seja a=(a_{1},\ldots,a_{n})\in A e x=(x_{1},\ldots,x_{n})\in I. Multiplicando coordenada a coordenada,
a\cdot x=(a_{1}x_{1},\ldots,a_{n}x_{n}).
Como x_{k}\in I_{k} e I_{k} é ideal em A_{k}, temos a_{k}x_{k}\in I_{k} para todo k. Assim a\cdot x\in I.
Como I satisfaz as três propriedades, concluímos que \,I_{1}\times\cdots\times I_{n}\, é um ideal de A_{1}\times\cdots\times A_{n}.
Dica prática para a prova na prova: mostrar essas três propriedades é direto e mecânico — escreva um elemento genérico do produto e trabalhe coordenada a coordenada.

Passo 4

Construção do homomorfismo natural. Definimos \varphi\colon A_{1}\times\cdots\times A_{n}\to A_{1}/I_{1}\times\cdots\times A_{n}/I_{n} por
\varphi(a_{1},\ldots,a_{n})=(a_{1}+I_{1},\ldots,a_{n}+I_{n}).
Aqui a_{k}+I_{k} é a classe (coset) de a_{k} em A_{k}/I_{k}. Vou verificar que \varphi é um homomorfismo de anéis (respeita soma e produto).
Verificação da aditividade: tomemos (a_{1},\ldots,a_{n}) e (b_{1},\ldots,b_{n}). Então
\varphi\big((a_{1},\ldots,a_{n})+(b_{1},\ldots,b_{n})\big) =\varphi(a_{1}+b_{1},\ldots,a_{n}+b_{n}) =(a_{1}+b_{1}+I_{1},\ldots,a_{n}+b_{n}+I_{n}).
Mas nas componentes de quociente temos (a_{k}+b_{k})+I_{k}=(a_{k}+I_{k})+(b_{k}+I_{k}). Então
\varphi((a)+(b))=\varphi(a)+\varphi(b).
Verificação da multiplicatividade: de modo análogo,
\varphi\big((a_{1},\ldots,a_{n})\cdot(b_{1},\ldots,b_{n})\big) =\varphi(a_{1}b_{1},\ldots,a_{n}b_{n}) =(a_{1}b_{1}+I_{1},\ldots,a_{n}b_{n}+I_{n}),
e em cada coordenada (a_{k}b_{k})+I_{k}=(a_{k}+I_{k})(b_{k}+I_{k}). Portanto
\varphi(a\cdot b)=\varphi(a)\cdot\varphi(b).
Logo \varphi é homomorfismo de anéis. Observação: a definição é “coordenada a coordenada” e por isso é bem natural.

Passo 5

Surjetividade de \varphi.
Tomemos um elemento arbitrário do produto de quocientes:
(\bar b_{1},\bar b_{2},\ldots,\bar b_{n})\in A_{1}/I_{1}\times\cdots\times A_{n}/I_{n},
onde \bar b_{k}=b_{k}+I_{k} para algum representante b_{k}\in A_{k}. Então
\varphi(b_{1},b_{2},\ldots,b_{n})=(b_{1}+I_{1},\ldots,b_{n}+I_{n})=(\bar b_{1},\ldots,\bar b_{n}).
Assim qualquer tupla de classes tem um pré-imagem óbvia: a tupla dos representantes. Logo \varphi é sobrejetora.

Passo 6

Cálculo do núcleo de \varphi e identificação com I.
Pela definição do núcleo,
\ker\varphi=\{(a_{1},\ldots,a_{n})\in A_{1}\times\cdots\times A_{n}\mid \varphi(a_{1},\ldots,a_{n})=(I_{1},\ldots,I_{n})\},
onde I_{k} aqui representa a classe zero em A_{k}/I_{k}. Isto equivale a dizer que para cada k temos a_{k}+I_{k}=I_{k}, ou seja, a_{k}\in I_{k}. Portanto
\ker\varphi=\{(a_{1},\ldots,a_{n})\mid a_{k}\in I_{k}\\ \forall k\}=I_{1}\times\cdots\times I_{n}=I.
Mostrei ambas as inclusões: se (a_{1},\ldots,a_{n})\in\ker\varphi então cada a_{k}\in I_{k}; e se (a_{1},\ldots,a_{n})\in I então \varphi(a_{1},\ldots,a_{n})=(I_{1},\ldots,I_{n}). Logo \ker\varphi=I.
Importante: essa igualdade também explica de outra forma por que I é ideal — núcleo de homomorfismo é sempre ideal.

Passo 7

Aplicação do Primeiro Teorema do Isomorfismo.
Como \varphi é homomorfismo sobrejetor e \ker\varphi=I, pelo Teorema do Isomorfismo para anéis temos
\frac{A_{1}\times\cdots\times A_{n}}{I_{1}\times\cdots\times I_{n}} =\frac{A}{I}\simeq A_{1}/I_{1}\times\cdots\times A_{n}/I_{n}.
Isso é exatamente a isomorfia pedida. O isomorfismo é dado explicitamente pela classe
(a_{1},\ldots,a_{n})+I \longmapsto (a_{1}+I_{1},\ldots,a_{n}+I_{n}).
Essa regra é bem definida e bijetiva porque foi construída a partir de \varphi e da identificação do núcleo.

Passo 8

Exemplo concreto rápido para fixar a ideia: para n=2, A_{1}=A_{2}=\mathbb{Z}, I_{1}=2\mathbb{Z}, I_{2}=3\mathbb{Z}, obtemos
\frac{\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}}{2\mathbb{Z}\times 3\mathbb{Z}}\simeq\frac{\mathbb{Z}}{2\mathbb{Z}}\times\frac{\mathbb{Z}}{3\mathbb{Z}}.
Intuitivamente: reduzir cada coordenada módulo o seu ideal é a operação que dá o isomorfismo.

Resposta

I_{1}\times I_{2}\times\cdots\times I_{n} é um ideal de A_{1}\times A_{2}\times\cdots\times A_{n}.\n \frac{A_{1}\times A_{2}\times\cdots\times A_{n}}{I_{1}\times I_{2}\times\cdots\times I_{n}}\simeq \frac{A_{1}}{I_{1}}\times \frac{A_{2}}{I_{2}}\times\cdots\times \frac{A_{n}}{I_{n}}.

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